Umkehrbarkeit zeigen und Umkehrfunktion ermitteln

Question

Folgende Aufgabe hab ich:

Kann ich a) durch Monotoieverhalten zeigen?

Bei b hab ich keine Ahnung ^^

Comments

nichts zu erkennen!

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Läd das Bild nicht...

R nach R

f(x)= (x^2)arctan (x)

A) warum besitzt f eine umkehrfunktion

B) bestimme die Ableitung der umkehrfunktion (pi/4)

Hinweis f(1)= pi/4

Answer 1

bei a) musst du nur zeigen  f ' (x) > 0 für alle x aus R.
Leider ist f'(0)=0, aber das macht nichts, denn
f'(x)>0 für alle x<0  und    f'(x)>0 für alle x>0,
also streng monoton steigend auf R- und auf R+ und wegen stetigkeit bei 0
also auch über R.

Sei g die Umkehrfunktion von f, dann ist die Ableitung  g ' ( pi/4 ) =  1 /  f ' ( g(pi/4) )
und wegen des Tipps  f(1)= pi/4 ist also g(pi/4)=1 also
g ' ( pi/4 ) =  1 /  f ' (1 )     und es war  f ' (x) = 2x*arctan(x)+ x^2 / (1+x^2)
                                                  also f ' (1) = pi/2 + 1/2
damit g ' ( pi/4 ) =  1 / ( pi/2 + 1/2) = 2 / (1+pi)

Comments

Danke dir...

top:) hab einfach den Hinweis nicht beachtet ^^ der erleichtert ja einiges

Answer 2

zunächst zu a.)
f ( x ) = x^2 * acrtan(x)
f´( x ) = 2 * x * arctan(x) + x^2 / ( 1 + x^2 )
Monotonie > 0
2 * x * arctan(x) + x^2 / ( 1 + x^2 ) > 0
2 * x * arctan(x) > - x^2 / ( 1 + x^2 )
nun ist die rechte Seite stets negativ
( abgesehen von x = 0 )
Die linke Setie ist stets positiv
( abgesehen von x = 0 )
da gilt
arctan ( -x ) = arctan ( x) * (-1)
( bitte den Graph der arctan Funktion einmal anschauen )
für x > 0 gilt
2 * x * arctan(x) > 0
für x < 0 gilt
2 * (-x ) * arctan(x) *(-1) > 0
2 * x  * arctan(x) > 0
Die 1.Ableitung ist stets positiv, außer
bei x = 0 dort ist sie null.

Ich denke damit ist bewiesen das f ( x )
sogar streng monoton steigend und
damit umkehrbar ist.

Wurde die Frage b.) von mathef ausreichend beantwortet ?

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg