DGL 3. Ordnung mittels Laplace lösen

Question

Aufgabe:

DGL 3. Ordnung mittels Laplace lösen:

y(0) =1

y´(0) =0

y´´(0) =0

\( \stackrel{...}{y}+2 \ddot{y}+5 \dot{y}=20 e^{-t} \)

Answer 1

Du mußt folgendes einsetzen:

y '''= -s^2 +s^3*Y(s)

y''= -s +s^2 *Y(s)

y'= -1 +s*y(s)

dann kommst Du auf:

y(s) (s^3 +2s^2 +5s)= 20/(s+1) +s^2 +2s +5

das muß noch nach Y(s) umgestellt werden .

Oft ist dann eine PBZ nötig.

Schließlich muß noch eine Rücktransformation erfolgen.

Comments

genau bis dahin hab ich das auch schon ... ich habe das eine zusammengefasst und jetzt wollte ich pbz machen. problem ist nur der hintere teil ist komplex

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und hier der Rest:

Ergebnis: y=e^{ -t} (5 e^t -2 sin(2t) +cos(2t) -5)

Answer 2

Hi,
der Term
$$ \frac{s^3+3s^2+7s+25}{s(s^2+2s+5)(s+1)}  $$ wird zerlegt und gleichgesetzt
$$ \frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C+Ds}{s^2+2s+5} = \frac{s^3+3s^2+7s+25}{s(s^2+2s+5)(s+1)} $$ mit noch zu bestimmenden Zahlen A, B, C, D
Das ergibt folgende Gleichungen
$$ (1) \quad A + B + D = 1  $$
$$ (2) \quad 3A + 2B + C + D = 3 $$
$$ (3) \quad 7A + 5B + C = 7 $$
$$ (4) \quad 5A = 25 $$
mit den Lösungen \( A = 5 \), \( B= -5 \), \( C = -3 \) und \( D = 1 \)

Jetzt muss man die Rücktransformation anwenden.

Comments

Ok so geht's danke :) weißt du wie man das ergebnis prüfen kann?

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Indem man das Ergebnis 3 Mal ableitet und in die Aufgabe einsetzt.

Dann muß die linke Seite = der  rechten Seite sein.

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Bei der rücktransformation kann ich den letzten Term nicht umwandeln kann da jemand helfen?

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Hi,
der Term
$$ \frac{s-3}{s^2+2s+5} = \frac{s+1-4}{(s+1)^2 + 4} = \frac{s+1}{(s+1)^2 + 4}-2\frac{2}{(s+1)^2 + 4}  $$
Jetzt kann man folgende Transformationen nutzen
$$ \frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\beta^2} \to e^{-\alpha t} \cdot \cos(\beta t)  $$ und
$$ \frac{\beta}{(s+\alpha)^2+\beta^2} \to e^{-\alpha t} \cdot \sin(\beta t)  $$
Daraus folgt
$$ \frac{s-3}{s^2+2s+5} \to e^{-t} \cdot [\cos(2t) - 2 \cdot \sin(2t)]  $$

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ich hab mal noch eine allgemeine frage ... wann bentzt man eigentlich faltung und wann pbz?

bei manchen aufgaben kann man nämlich beides anwenden... ist das ergebnis am ende gleicgwertig oder macht das nen unterschied?

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ich denke der Faltungssatz wird angewendet, wenn die Bildfunktion ein Produkt und die PBZ wenn die Bildfunktion eine Summe von Funktionen im s-Bereich ist.