Eine der Geraden hat den kürzesten Abstand zum Ursprung. Bestimmen Sie diesen Abstand sowie eine Gleichung der Geraden.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte \( \mathrm{A}(2|1| 3), \mathrm{C}(3|8| 3) \) sowie die Geraden \( \mathrm{g}_{\mathrm{a}} \) mit der Gleichung \( \overrightarrow{\mathbf{x}}=\left(\begin{array}{c}3-a \\ 3+3 a \\ 3\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{r}-3 \\ 4 \\ 0\end{array}\right), \mathrm{a} \in \mathbb{R} \).

a) Zeigen Sie, dass der Punkt A auf der Geraden \( \mathrm{g}_{-2} \) liegt.
Für welchen Wert für a liegt der Punkt \( \mathrm{C} \) auf \( \mathrm{g}_{\mathrm{a}} \) ?

b) Alle Geraden \( \mathrm{g}_{\mathrm{a}} \) liegen in einer Ebene \( \mathrm{E} \). Beschreiben Sie die besondere Lage von \( \mathrm{E} \) und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von \( \mathrm{E} \).

c) Zeigen Sie, dass keine der Geraden \( \mathrm{g}_{\mathrm{a}} \) durch den Ursprung verläuft.

d) Eine der Geraden \( \mathrm{g}_{\mathrm{a}} \) hat den kürzesten Abstand zum Ursprung. Bestimmen Sie diesen Abstand sowie eine Gleichung der entsprechenden Geraden.

e) Es existieren ein Punkt B auf der Geraden \( \mathrm{g}_{3} \) und ein Punkt D auf der Geraden \( \mathrm{g}_{-2} \), die mit den Punkten A und C ein Quadrat bilden. Bestimmen Sie die Koordinaten von B und D.

Answer 1

Die Punkte auf der Gearden g_a sind  (3-a-3r;3+3a+4r;3)

Der Punkt von g_a , welcher am nächsten bei 0 ist, hat einen Ortsvektor, der senkrecht

auf g_a steht. Also ist das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor = 0

(3-a-3r ; 3+3a+4r ; 3)* ( -3 ; 4; 0 )  = 0

25r + 15a + 3 = 0 Also ist der Punkt mit  r= - 0,6 a - 0,12 

am nächsten beim Nullpunkt. Das wäre der Punkt

( 0,8a + 3,36 ; 0,6a + 2,52 ; 3 ) 

Der ist von 0 entfernt:  e(a) = wurzel ( a^2 + 8,4a + 26,64)

Dieser Wert ist minimal, wenn f(a) = a^2 + 8,4a + 26,64 minimal ist.

mit f ' (a) = 2a + 8,4 und f ' (a) = 0 für  a= -4,2 

Der Abstand beträgt also e(-4,2) = wurzel(9) = 3 

Die Geradengleichung entsteht für a= -4,2 

e) Wenn AC die Diagonale des Quadrates ist, erhältst du die Punkte B und D

indem du die zu AC mittelsenkrechte Ebene E

(also durch die Mitte von AC mit Normalenvektor von A nach C)

mit g3 und g-2 schneidest.