Grenzwert der Folge ermitteln. an:= 1/n^2 +2/n^2 + 3/n^2 + ... + n/n^2

Question

Ich scheitere gerade bei dem Suchen eines Grenzwertes für eine bestimmte folge:

1/n^2 +2/n^2 + 3/n^2 + ... + n/n^2

Ich weiß, dass 1/n immer gegen 0 läuft, ich bin mir aber nicht sicher, ob dies auch auf diese Folge zutrifft, da wäre ja der Grenzwert der folge = 0 ?

Answer 1

Wäre die Anzahl der Summanden konstant, und jeder Summand würde gegen 0 laufen, dann wäre auch der Grenzwert der Summe 0.
Hier ist aber die Anzahl der Summanden nicht konstant; sie wächst mit jedem Folgenglied. Deswegen kann man hier nicht so einfach eine Aussage treffen.
Man kann aber die Folge umformen: \(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n}{n^2}=\frac{1+2+...+n}{n^2}\).
Im Zähler kannst du jetzt die Gaußsche Summenformel für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen anwenden und dann steht der Grenzwert schon fast da.

Comments

Okay damit kann ich was anfangen, danke sehr

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Summenformel ist ja:

(n(n+1))/2 Summenzeichen davor gesetzt n = unendlich und k = 1

dann würde ich genau diesen Bruch nehmen (n(n+1))/2 mit n^2 also: ((n(n+1))/2)/(n^2)

ist das soweit in machbar ?

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Ich verstehe nicht ganz, was du da mit einem Summenzeichen willst, und wofür das k steht.
Du musst doch nur \(\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}\) bestimmen. Einfach ein bisschen kürzen und umformen, dann steht es schon da.

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Genua, das meine ich. Perfekt, dann ist alles ok.