Eine Parabel hat drei Parameter. Je nachdem wie man die Parabel schreibt sieht das so aus:
$$ (1) \quad f(x) = ax^2+bx+c \quad \text{ Normalform } $$
$$ (2) \quad f(x) = a(x-x_0)(x-x_1) \quad \text{ Nullstellenform} $$
$$ (3) \quad f(x) = a(x-x_0)^2+y_0 \quad \text{ Scheitelpunktform} $$
Ich habe die Form (2) gewählt, weil die Nullstellen \( x_0 = 0 \) und \( x_1 = 73 \) bekannt sind. Damit muss nur noch \( a \) berechnet werden. Wenn man (2) differenziert, Null setzt und nach \( x \) auflöst, erhält man
$$ f'(x) = a(x-x_1)+a(x-x_0) = a(2x-x_0-x_1) = 0 $$ und daraus folgt $$ x = \frac{x_0+x_1}{2} $$ D.h. der Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen Nullstellen, hier \( x_s = \frac{0+73}{2} = 36.5 \), und am Scheitelpunkt ist die Höhe \( y = 36 \) also gilt
\( f(x_s) = a(x_s-x_0)(x_s-x_1) = a\cdot 36.5 \cdot (36.5 - 73) = 36 \) also $$ a = \frac{36}{36.5 \cdot (36.5 - 73)} \approx -0.027 $$
