Mittels Determinante prüfen, ob durch 3 Punkte ein Kreis erklärt wird. Punkte (1/1), (2/-3) und (5/7).

Question

Entscheiden Sie mit hilfe von Determinanten, ob durch die Punkte (1/1), (2/-3) und (5/7) ein Kreis definiert ist. Bestimmen Sie gegebenenfalls Mittelpunkt und Radius.

Answer 1

Ich stelle die Matrix auf

x1	y1	1
x2	y2	1
x3	y3	1

also 

1	1	1
2	-3	1
5	7	1

und Berechne hiervon die Determinante

-3 + 5 + 14 - (-15) - 7 - 2 = 22

Will ich auf die Kreisgleichung kommen stelle ich die Matrix für die Kreisgleichung auf

x^2 + y^2	x	y	1
x1^2 + y1^2	x1	y1	1
x2^2 + y2^2	x2	y2	1
x3^2 + y3^2	x3	y3	1

Hier also

[x^2 + y^2, x, y, 1;
1^2 + 1^2, 1, 1, 1;
2^2 + (-3)^2, 2, -3, 1;
5^2 + 7^2, 5, 7, 1]

bzw.

[x^2 + y^2, x, y, 1;
2, 1, 1, 1;
13, 2, -3, 1;
74, 5, 7, 1]

Hier entwickel ich die Determinante nach der letzten Spalte und erhalte:

22·x^2 + 22y^2 - 354·x - 28·y + 338

Wenn ich das gleich Null setzte habe ich die Kreisgleichung

 

22·x^2 + 22·y^2 - 354·x - 28·y + 338 = 0
22·x^2 - 354·x + 22·y^2 - 28·y = -338

Nun mache ich die quadratische Ergänzung.

22(x - 177/22)^2 + 22(y - 7/11)^2 = 22(177/22)^2 + 22(7/11)^2 - 338 = 24089/22

 

Der Kreismittelpunkt ist also M(177/22 | 7/11)

Der Radius ist √(24089/22) ~ 33.09

Vielleicht habe ich irgendwo einen Rechenfehler drin wegen solch krummer Werte. Schau mal beim Nachrechnen ob du es bestätigen kannst oder ob du meinen Fehler findest.

 

Comments

Der Radius scheint mir etwas zu groß geraten.
Ich habe den gleichen Mittelpunkt aber den Radius  r = √(24089)/22 ≈ 7.05.

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Ja. Der Radius von 7.05 stimmt.

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Danke, hab auch nachgerechnet, komme auf 7,05.

Ich bin an der quadratischen Ergänzung gescheitert, jetzt hab ich es aber verstanden.

Und ich find es einfacher, wenn man bei der letzten Kreisgleichung den Faktor 22 weglässt.

da steht bei mir

(x-177/22)^2+(y-14/22)^2=(177/22)^2+(14/22)^2-338/22

Vielen Dank für die Lösung.