Grenzwertaufgabe (a^n - a^-n) / (a^n + a^-n)

Question

Habe ich diese Aufgabe korrekt gelöst?

\( e_{n}=\frac{a^{n}-a^{-n}}{a^{n}+a^{-n}} \) mit \( a>0, a \neq 1 \)
\( e_{n}=\frac{a^{n}-\frac{1}{a^{n}}}{a^{n}+\frac{1}{a^{n}}}=\frac{a^{n}\left(1-\frac{1}{a^{2 n}}\right)}{a^{n}\left(1+\frac{1}{a^{2 n}}\right)}=\frac{1-\frac{1}{a^{2 n}}}{1+\frac{1}{a^{2 n}}} \stackrel{n_{n \text { gegen } \infty}}{\longrightarrow} \frac{1-0}{1+0}=1 \)

Answer 1

Deine Berechnung gilt für a > 1

Für a < 1 kommt -1 heraus

Answer 2

Die Umformung sieht gut aus für a>1.

Nur: Warum verlangst du a≠1 ?

EDIT: Aha. Im Fall a=1 wäre ja der Grenzwert 0.

Fall 0<a<1 separat ansehen. Vgl. Marvin812.

Answer 3

Wenn 0<a<1 gilt, so ist 1/(a^2n) für n gegen unendlich auch unendlich.
Das solltest du im vorletzten Schritt beachten.
Als Grenzwert erhältst du  dann nämlich -1.