Ich muss gerade drei Aufgaben mit Beweisen lösen und habe nun zwei Lösungsversuche für 1. und 3. bei denen ich gerne wissen würde, ob ich es richtig gemacht habe:
Zur Aufgabe 1:
Richtig oder falsch? (Beweis oder Gegenbeispiel)
\( a c+b d \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}} \sqrt{c^{2}+d^{2}} \quad \) mit \( a, b, c, d \in \Re \)
Lösungsversuch:
Für \( a c+b d \geq 0 \):
\( a c+b d \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}} \sqrt{c^{2}+d^{2}} \)
\( \Leftrightarrow(a c+b d)^{2} \leq\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) \)
\( \Leftrightarrow a^{2} c^{2}+2 a b c d+b^{2} d^{2} \leq a^{2} c^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}+b^{2} d^{2} \quad \mid-a^{2} c^{2},-b^{2} d^{2} \)
\( \Leftrightarrow 2 a b c d \leq a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2} \)
\( \Leftrightarrow 0 \leq a^{2} d^{2}-2 a b c d+b^{2} c^{2} \)
\( \Leftrightarrow 0 \leq(a d-b c)^{2} \)
Q.e.d., da ein Quadrat immer größergleich Null ist.
Für \( a c+b d<0 \)
\( a c+b d \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}} \sqrt{c^{2}+d^{2}} \)
\( \Leftrightarrow a c+b d \leq \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)} \)
Q.e.d., denn die linke Seite ist immer kleinergleich als Null und die rechte Seite aufgrund des Wurzelausdrucks größergleich Null.
Zur Aufgabe 2:
Seien \( a, b, c, d \in \Re \) mit \( b>0 \) und \( d>0 \), sowie \( \frac{a}{b}<\frac{c}{d} \)
Weisen Sie nach, dass das gilt: \( \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d} \)
Lösungsversuch:
\( \begin{array}{l} \frac{a}{b}<\frac{c}{d} \\ \Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{c}{d}<\frac{c}{d}+\frac{c}{d} \\ \Leftrightarrow \frac{a d+c b}{b d}<\frac{2 c}{d} \\ \Leftrightarrow ? \end{array} \)
Zur Aufgabe 3:
\( a+b \leq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a} \quad \text { mit } a, b>0 \)
Lösungsversuch:
\( \begin{array}{l} \Leftrightarrow \quad 0 \leq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}-a-b \\ \Leftrightarrow \quad 0 \leq \frac{a^{2}-a b}{b}+\frac{b^{2}-a b}{a} \\ \Leftrightarrow \quad 0 \leq \frac{a^{2}-a b}{b}+\frac{b^{2}-a b}{a} \\ \Leftrightarrow \quad 0 \leq \frac{a\left(a^{2}-a b\right)+b\left(b^{2}-a b\right)}{a b} \\ \Leftrightarrow 0 \leq \frac{a^{2}(a-b)+b^{2}(b-a)}{a b} \\ \Leftrightarrow \quad 0 \leq \frac{a^{2}(a-b)-b^{2}(a-b)}{a b} \\ \Leftrightarrow \quad 0 \leq \frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)(a-b)}{a b} \\ \Leftrightarrow \quad 0 \leq\left(a^{2}-b^{2}\right)(a-b)^{\prime} \end{array} \)
Q.e.d., für \( a>b \), sind beide Faktoren positiv und somit größergleich Null.
Für \( a<b \), sind beide Faktoren negativ und somit größergleich Null.
