Aufgaben:
7.1.0 Ein Verpackungsmittelhersteller will einen quaderförmigen Getränkebehälter ohne Deckel entwerfen, der 330 Milliliter Saft aufnehmen kann. Die Höhe h soll das Dreifache der Seite a der rechteckigen Grundfläche betragen.
7.1.1 Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Funktion \( \mathrm{A}_{0} \) mit der Gleichung
\( A_{0}(a)=6 a^{2}+\frac{770}{a} \)
eine Zielfunktion für die Berechnung des Oberflächeninhalts für den beschriebenen Behälter ist.
7.1.2 Berechnen Sie die Kantenlängen des Behälters so, dass der Materialaufwand minimal wird und geben Sie den absolut kleinsten Oberflächeninhalt an. Auf die Überprüfung der Randwerte wird verzichtet.
7.2 Des Weiteren soll geprüft werden, mit welchem Materialeinsatz ein zylinderförmiger Getränkebehälter ohne Deckel hergestellt werden kann, dessen Fassungsvermögen ebenfalls 330 Milliliter beträgt und dessen Höhe h dem Dreifachen des Durchmessers d der Grundfläche entspricht.
Berechnen Sie Durchmesser, Höhe und Oberflächeninhalt des beschriebenen Behälters.
7.3 Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass für die Herstellung eines zylinderförmigen Behälters ohne Deckel \( 400 \mathrm{~cm}^{2} \) Material eingesetzt werden soll. Weitere Bedingungen werden nicht festgelegt.
Stellen Sie flir diesen Behälter eine Zielfunktion für die Berechnung des maximalen Volumens in Abhängigkeit vom Durchmesser d auf.
