Stammfunktionen von Brüchen. Bsp. von f(x) = 2/(3-15x)^4 integrieren.

Question

Ich bin gerade dabei fürs Abitur zu lernen und an einer ziemlich blöden Aufgabe hängen geblieben. Und zwar soll man die Stammfunktion von

$$\frac { 2 }{ (3-15x)^{ 4 } }$$ 

bilden.

Auf einem Arbeitsblatt stand dazu die Lösung $$\frac { 2 }{ 45\times (3-15x)^{ 3 } } $$

Das leuchtet mir leider überhaupt nicht ein. Ich bin nach demselben Schema vorgegangen wie sonst auch immer.

Aufleiten: $$\frac { 2 }{ \frac { 1 }{ 5 } \times (3-15x)^{ 5 }\times -15 } $$

Ich verstehe nicht wie man auf die 45 kommt ? Durch 3 * 5 zum Beispiel.

Aber wieso steht im Exponent denn eine 3 ? Es wird doch aufgeleitet und nicht abgeleitet ?

Hilfe!!!

Answer 1

schreibe den Bruch als: \( 2(3-15x)^{-4}\). Beim Stammfunktion bilden entweder Substitution \( z = 3-15x \) verwenden, oder aber die innere Ableitung berücksichtigen. Das Ergebnis aus der Lösung des Blattes ist richtig.

Gruß

Comments

und wie gehe ich dann weiter vor ?

$$\frac { 2 }{ -3 } \ast (3-15x)^{ -3 }\ast -15$$ ?

dann komme ich aber auf 10 und nicht auf 45 oder wie muss man weiter rechnen ?

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Die (-15) muss als Faktor in den Nenner ! Leite die Stammfunktion ab dann siehst du es.

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Sorry aber ich stehe grade etwas auf dem Schlauch...

Wenn ich aufleite wird aus dem Exponent : -4+1 = -3 ?

Dann zieh ich ihn nach vorne unter den Bruch...

und muss mit dem Faktor mal nehmen oder?

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Nein eben nicht der Faktor wird beim ableiten multipliziert, demnach muss er beim aufleiten dividiert werden (also ebenfalls in den Bruch gezogen werden um deine Beschreibung zu übernehmen). Wie gesagt leite deine Stammfunktion mal ab und dann die aus der Lösung, vergleiche das Ergebnis mit der ursprünglichen Funktion.

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Ahhhh jetzt seh ich den Fehler den ich schon die ganze Zeit mache.

-2:(3*-15)= 2/45

wie in der Lösung.

Dankeschön, ich hing grade total :D

Answer 2

Hi, versuch es mal mit der Umformung
$$ \frac { 2 }{ (3-15x)^4 } = 2 \cdot (3-15x)^{-4}. $$

Answer 3

Du darfst nicht einfach den Nenner integrieren. Beachte die folgenden Punkte und probier es nochmals.

1. Steht eine Potenz im Nenner, bringt man sie in den Zähler, indem man den Exponenten negativ nimmt.

Bsp: 2/u^2 = 2u^{-4}

und ∫ 2u^{-4} du = 2 *(1/(-3)) * u^{-3} + C

2. Du solltest lineare Substitution kennen.

u = 3-15x

u' = du/dx = -15 ==> du / (-15) = dx.

3. Die beiden ersten Schritte kombinieren und Bruchterm vereinfachen bis zur gesuchten Lösung.