\( f_t(x)=(x^2-t)e^{x} \)
\( f'_t(x)=2xe^{x}+(x^2-t)e^{x}=e^{x}(x^2+2x-t) \)
\( f''_t(x)=e^{x}\cdot (x^2+2x-t)+e^{x}\cdot (2x+2)\\ =e^{x}\cdot(x^2+4x+2-t)\)
\( e^{x}(x^2+2x-t)=0 \) Satz vom Nullprodukt:
\( e^{x}≠0 \)
\( x^2+2x-t=0 \)
quadratische Ergänzung:
\( x^2+2x+1=t+1 \)
\( (x+1)^2=t+1|±\sqrt{~~} \)
1.)
\( x+1=\sqrt{t+1} \)
\(x_1=-1+\sqrt{t+1} \)
2.)
\( x+1=-\sqrt{t+1} \)
\(x_2=-1-\sqrt{t+1} \)
Art des Extremum:
\( f''_t(-1+\sqrt{t+1})=e^{-1+\sqrt{t+1}}\cdot[(-1+\sqrt{t+1})^2+4(-1+\sqrt{t+1})+2t]\\=2e^{\sqrt{t+1}-1}\cdot \sqrt{t+1}\)
\( f''_t(-1-\sqrt{t+1} )=e^{(-1-\sqrt{t+1} )}\cdot[(-1-\sqrt{t+1} )^2+4\cdot (-1-\sqrt{t+1} )+2-t]\\=-2e^{-\sqrt{t+1}-1}\cdot \sqrt{t+1}\)
Für Tiefpunkt gilt:\(f''(...)>0\)
Das ist bei \(x_1=-1+\sqrt{t+1} \) Nun mit \(x_1=0\) wegen Minimum auf der y-Achse
\(-1+\sqrt{t+1} =0\)
\(\sqrt{t+1} =1\)
\(t+1 =1\)
\(t=0\)
\( f(x)=x^2 \cdot e^{x} \)
