Integral berechnen von ∫ (5 - x/2 + 3x^3) dx

Question

Integral berechnen:

\( \begin{aligned} & \int\left(5-\frac{x}{2}+3 x^{3}\right) d x \\ &=\int 5 d x-\frac{1}{2} \int x d x+3 \int x^{3} d x \\ &=5 x-\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}+3 \frac{x^{4}}{4}+c \\ &=5 x-\frac{1}{4} x^{2}+\frac{3}{4} x^{4}+c \end{aligned} \)

Ansatz/Problem:

Wir haben Integralberechnung angefangen, aber ich weiß immer noch nicht wie ich es machen soll.

Answer 1

Hallo Thomas,

in Deinem Falle lautet die Funktion

f(x) = 5 - x/2 + 3x³ = 5 * x⁰ - 1/2 * x¹ + 3 * x³

Man bildet zunächst eine Stammfunktion von f(x), indem man die Exponenten von x um 1 erhöht und den Vorfaktor durch diesen neuen Exponenten dividiert, also

F(x) = 5/1 * x⁰⁺¹ - (1/2)/2 x¹⁺¹ + 3/4 * x³⁺¹ + C =

5x - 1/4 * x² + 3/4 * x⁴ + C

Das C ist ein konstanter Faktor, der beim Ableiten wegfällt.

Damit gilt

F'(x) = f(x)

F(x) ist also eine Stammfunktion von f(x).

Wenn man dann ein Integral in den Grenzen von a bis b berechnen soll, fährt man so fort:

_a∫^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Besten Gruß

Comments

Ok, ich verstehe

kannst Du mir noch sagen, was man beachten muss, wenn man das ich sag mal so umschreibt.

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Mh,

das habe ich so noch nie gesehen :-)

Wenn Du die Vorfaktoren vor die Integrale ziehst, musst Du natürlich auf die Vorzeichen achten, das hast Du ja richtig gemacht.

Ich weiß aber nicht, ob dieser Zwischenschritt nötig oder von Deinem Lehrer / Deiner Lehrerin gefordert ist.

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"das habe ich so noch nie gesehen :-)"

irgendwas wird sich mein Lehrer schon dabei gedacht haben, fragt sich nur was ;D

Vielen Dank trotzdem!

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Gern geschehen!

"das habe ich so noch nie gesehen :-)"

Nun gut, Lehrer sehen im Allgemeinen mehr als wir Normalsterbliche :-)

Wahrscheinlich wollte er auf so etwas hinweisen:

Bei der Differentialrechnung gibt es die Summenregel:

Bei einer endlichen Summe von Funktionen darf gliedweise differenziert werden

(http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/ableitung-fakorregel-summenregel-ableitungsregel-mathematik.html).

Für die Integralrechnung gibt es ebenfalls die Summenregel.

Answer 2

Das ist nicht so schwierig wie es im ersten Augenblick aussieht. Das Bilden einer Stammfunktion ist eigentlich die Gegenteilige Operation zum Ableiten.

Ich war nie so gut im bilden einer Stammfunktion. Ich konnte aber das Ableiten recht gut.

Also man fragt sich was gibt abgeleitet

5 - x/2 +3x^3

Zunächst mal sehe ich eine Summe. Weil ich weiß, dass eine Summe einzeln abgeleitet wird, weiß ich auch das die Stammfunktion auch aus den Stammfunktionen der einzelnen Summanden besteht.

Was gibt also abgeleitet 5? Das ist wohl 5x

Was gibt also abgeleitet -x/2 = -1/2*x? Das ist wohl -1/4*x^2

Was gibt also abgeleitet 3x^3? Das ist wohl 3/4*x^4

Allgemein gilt die Stammfunktion zu x^n ist 1/(n+1)*x^{n+1}

Da eine Konstante beim Ableiten wegfällt kann ich beim Integrieren also noch eine Integrationskonstante c hinzufügen. Das c steht also für eine beliebige Zahl.

Die Stammfunktion von 5 - x/2 + 3x^3 ist also 5x - 1/4*x^2 + 3/4*x^4 + c

Mathematisch schreibt man es dann

∫ (5 - x/2 + 3x^3) dx = 5*x - 1/4*x^2 + 3/4*x^4 + c