Bestimmen sie die Lösung Mittels Additionstheorem

Question

Ich habe diese Gleichung gegeben: cos^2(x) = sin^2(2x)  und möchte nun die Lösung bestimmen, aber welches Additionstheorem kann ich hierbei anwenden. Ich weiß, dass dies auch mit dem Pythagoras funktioniert, aber dieses mal soll es mit dem Additionstheorem gelöst werden.

Danke schon mal in voraus für eure Hilfe.

Answer 1

Verwende

sin(2x)=2 sin(x) *cos(x)

sin^2(2x)=4 sin^2(x) *cos^2(x)

Comments

ah okay also dieses Additionstheorem:

sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x) 

Gut damit komme ich auf 30° und -30°

Aber wie sieht das aus wenn die Gleichung nun cos²(x) = sin²(3x) heißt ?

Ist dann: cos^2(x) = (2*sin(3x)*cos(3x))^2  // Ist das so richtig ??

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hierfür gibt es ein Theorem:

sin(3x)= 3 sin(x) -4 sin^3(x)

sin^2(3x)=(3 sin(x) -4 sin^3(x))^2

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Das ist Gut, aber woher stammt genau dieses Theorem, wo kann ich das nachgucken ?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie

ein bisschen runter scrollen

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Danke, das hilft mir weiter. Aber mal so gefragt, über den Pythagoras ist dies doch genauso richtig und deutlich einfacher oder?

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Hallo

bei solchen Aufgaben gibt es oft mehrere Möglichkeiten der Umformung.

Natürlich kannst Du den Pythagoras auch nehmen. Wichtig , es immer das zu machen, was in der Aufgabe verlangt wird .Und zu sagen "einfach" ist immer subjektiv.

Mal angenommen Du fragst 10 Leute, dann wirst Du oft immer andere Meinungen über " einfach" hören.

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Danke, also das Ergebnis zur esten Aufgabe ist ja 30 und -30 (Positive und negative Wurzel) gibt es noch weitere Lösungen ? Wolframalpha zeigt mir 3 Lösungen an...

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Bzw. Wie kann ich nun die weiteren Lösungen bestimmen ?

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schauh es Dir  an:

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Mal angenommen Du fragst 10 Leute, dann wirst Du oft immer andere Meinungen über " einfach" hören.

Ich fände es z.B. am einfachsten, die gegebene Gleichzng äquivalent zu  cos(3x) = 0  umzuformen, weil sich dann alle Lösungen sofort ohne Fallunterscheidung ablesen lassen.

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Danke dir, auch nochmal für das separate Aufschreiben. In meiner Rechnung fehlte der Teil mit cos^2(x) = 0.

Danke dafür. Aber wenn man den Pythagoras anwendet, kommen nur zwei Lösungen heraus: 30° und Pi/2

cos^2(x) = sin^2(2x)

sin^2(x)+cos^2(x) = 1

1 = sin^2(2x)-sin^2(x)

arcsin(1) = 2x +x

arcsin(1)/3 = x

30° = x

Auch bei cos²(x) = sin²(3x) komme ich nur auf zwei Lösungen... Obwohl der Pythagoras anwendbar ist...