Hallo Anes,
Am besten zeichnest du die Kurve im fraglichen Bereich erst einmal (ungefähr) auf.
f3(x)=1/6*x^3+3*x^2+ 3/2*3^2*x = 1/6 x3+3x2+ 13,5x , -9<x<0
Jetzt wählst du den Punkt Q(x|0) auf der x-Achse in diesem Bereich.
Dazu den Punkt R(x,f3(x)) denkrecht oberhalb oder unterhalb von Q auf der Kurve und zeichnest von dort noch eine Verbindung zu P(0/0)
Das Dreieck, das du jetzt vor dir hast, ist ein halbes Rechteck. Es hat (bis auf des Vorzeichen) die
Fläche a(x) =0.5 x * f3(x), wir kümmern uns hier nicht um das Vorzeichen und lassen auch ein Minimum zu.
Diese Fläche soll also einfach extremal sein.
Um Extremalstellen (x-Werte) zu finden, leitet man a(x) ab und setzt die Ableitung a'(x)= 0
a(x) =0.5 x * f3(x) = 1/12 x4+1.5x3+ 6,75x2
a'(x) = 1/3 x3 + 4.5 x2 + 13.5 x = 0 Null setzen, Faktorisieren
x( 1/3 x2 + 4.5 x + 13.5) = 0 | Das erste relative Extremum wäre eventuell bei x=0. Das interessiert nicht, da dieses Dreieck die Fläche 0 hätte. Es bleibt eine quadratische Gleichung zu lösen.
1/3 x2 + 4.5 x + 13.5 = 0 |*3
x2 + 13,5 x + 40,5 = 0
d = b2- 4ac = 20.25 Wurzel draus 4,5
x 1,2= 0.5 (-13,5 ± 4,5)
x1= -9 , x2= -4,5
-9 liegt ebenfalls ausserhalb des interessierenden Bereichs zudem ist a(-9) = 546,75 - 1093,5 + 546.75 = 0
a(-4,5) = 34,172 - 136,688 + 136,688 = 34,172
Da ein positiver Wert rauskomme und wir mit negativem x rechnen
Also ist jetzt klar:
Für x= -4,5 wird die Dreiecksfläche maximal.
Da ein positiver Wert rauskommt und wir mit negativem x rechnen, ist auch f(x) an dieser Stelle negativ, d.h. die Kurve verläuft im betrachteten Bereich im 3.Feld (unter der x-Achse). Zudem haben wir rausgefunden, dass sie bei x=-9 und bei x=0 die x-Achse schneidet.
