Aufgabe:
Gegeben ist die Kurvenschar \( f_{a}(x)=x+a e^{-x}, a \neq 0 \).
a) Untersuchen Sie die Funktion \( f_{a} \) auf Extrema und Wendepunkte. Begründen Sie, weshalb es nur für positive Werte von a Extremalpunkte gibt.
b) Welche Scharkurve \( f_{a} \) besitzt ein auf der \( x \)-Achse liegendes Extremum und welche, Scharkurve hat ihr Extremum auf der \( \mathrm{y} \)-Achse?
c) Alle Extremalpunkte der Schar liegen auf ein und derselben Geraden \( \mathrm{g} \). Wie lautet die Gleichung dieser Geraden?
d) Skizzieren Sie die Graphen der Scharkurven \( \mathrm{f}_{1}, \mathrm{f}_{0,5} \) und \( \mathrm{f}_{-1} \) für \( -2 \leq \mathrm{x} \leq 3 \).
e) Welche Ursprungsgerade \( h_{a}(x)=m x \) berührt den Graphen von \( f_{a} \) ?
Berechnen Sie die Berührstelle sowie die Geradengleichung von \( \mathrm{h}_{\mathrm{a}} \).
