Gegeben ist die Kurvenschar \( f_{a}(x)=x+a e^{-x}, a \neq 0 \). a) Untersuchen Sie die Funktion \( f_{a} \) auf Extrema und Wendepunkte. Begründen Sie, weshalb es nur für positive Werte von a Extremalpunkte gibt.
\( f_{a}(x)=x+a e^{-x}\)
\( f'_{a}(x)=1+a e^{-x}\cdot (-1)=1-a e^{-x}\)
\( 1-a e^{-x}=0\)
\( a e^{-x}=1|\cdot e^{x} \)
\( e^{x}=a\)
\( x\ln(e)=\ln(a)\) mit \( \ln(e)=1\) :
\( \red{x=\ln(a)}\) \( f_{a}(\ln(a))=\ln(a)+a e^{-\ln(a)}\\=\ln(a)+\frac{a}{e^{\ln(a)}}=\ln(a)+1\)
a muss größer als 0 sein, weil sonst nicht definiert.
Art des Extremum:
\( f''_{a}(x)=-a e^{-x}\cdot (-1)= ae^{-x}=\frac{a}{e^{x}}\)
\( f''_{a}(\ln(a))=\frac{a}{e^{\ln(a)}}=1>0\) Minimum
Wendepunkte:
\( f''_{a}(x)=\frac{a}{e^{x}}\)
\(\frac{a}{e^{x}}=0\)→\(a≠0\)
Es gibt keinen Wendepunkt.
b) Welche Scharkurve \( f_{a} \) besitzt ein auf der \( x \)-Achse liegendes Extremum
\(\ln(a)+1=0\)
\(\ln(a)=-1\)
\(\ln(a)=-1\)
\( e^{\ln(a)}=a=e^{-1}=\frac{1}{e} \)
Welche Scharkurve hat ihr Extremum auf der \( \mathrm{y} \)-Achse?
\( \red{x=\ln(a)}\)→\( 0=\ln(a)\)
\(e^{\ln(a)}=a=e^{0}=1\)
c) Alle Extremalpunkte der Schar liegen auf ein und derselben Geraden \( \mathrm{g} \). Wie lautet die Gleichung dieser Geraden?
Koordinaten der Tiefpunkte:
E\((\ln(a)|\ln(a)+1)\)
\(x=\ln(a)\) \(y=\ln(a)+1\)
Ortskurve:
\(y=x+1\)
e) Welche Ursprungsgerade \( h_{a}(x)=m x \) berührt den Graphen von \( f_{a} \) ?
\(\lim\limits_{x\to\infty}x+a e^{-x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x\cdot e^x+a}{e^x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1\cdot e^x+x\cdot e^x}{e^x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1\cdot e^x+x\cdot e^x}{e^x}\lim\limits_{x\to\infty}1+x=∞\)
Der Graph nähert sich der Geraden \(y=x\) an.
Die Begründung fehlt mir hier.
Die Berührstelle liegt im Unendlichen.
\(x=x+a e^{-x}\)
\(a e^{-x}=0\) keine Lösung.
