Zwei Wege sollen ohne Knick verbunden werden. Bestimmen Sie den Term einer Funktion, die den Wegverlauf beschreibt.

Question

Aufgabe:

Zwei Wege A und B sollen ohne Knick verbunden werden. Bestimmen Sie den Term einer Funktion, die den Wegverlauf beschreibt.

Thema: Differentialrechnung

Answer 1

Da komme ich auf 4 Bedingungen

f(0) = 0

f ' (0) = 0

f ( 4) = 4

f ' (4) = 1.

Ansatz: Polynom mit 4 Unbekannten: y = a + bx + cx^2 + dx^3

y ' = b + 2cx + 3dx^2

Also Polynom 3. Grades.

f(0) = 0  -------> a= 0

f ' (0) = 0 → b=0

f ( 4) = 4

4 = 16c + 64d → 8c = - 32d + 2 ---> c = -4d + 1/4

f ' (4) = 1.

1 = 8c + 48d  ----> 1 = -32d + 2 + 48d = 16d + 2

d = -1/16

c = 4*1/16 + 1/4 = 0.5

y = 1/2 x^2 - 1/16 x^3  , für 0≤x≤4

(Rechnung ohne Gewähr: nachprüfen)

Skizze: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D+1%2F2+x%5E2+-+1%2F16+x%5E3+%2C+y+%3D+4%2C+y+%3D+x

Answer 2

Man stellt die Bedingungen auf

f(0) = 0
f'(0) = 0
f(4) = 4
f'(4) = 1

Man erhält die folgenden Gleichungen

d = 0
c = 0
64a + 16b + 4c + d = 4
48a + 8b + c = 1

Als Lösung und damit als Funktion ergibt sich

f(x) = -0,0625·x^3 + 0,5·x^2