Berechnen der Fläche zwischen Funktion und x-Achse. f(x) = (x^2 -4)/(x-5)

Question

Berechnet werden muss die Fläche zwischen der Funktion
$$ y=\frac { x²-4 }{ x-5 } $$
und der x-Achse.

Wenn der Hinweis vorliegt, dass Integralsubstitution  u = x-5 und  x = u+5 ist, kann man diese Aufgabe auch ohne Zeichnung lösen?
Wie würde das gehen?

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Berechnet werden muss die Fläche zwischen der Funktion
$$ y=\frac { x²-4 }{ x-5 } $$
und der x-Achse.

Wenn der Hinweis vorliegt, dass Integralsubstitution  u = x-5 und  x = u+5 ist, kann man diese Aufgabe auch ohne Zeichnung lösen?
Wie würde das gehen?

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Eine Skizze ist immer eine gute Idee.

Du musst dir zumindest vorstellen können (und begründen können) warum der Graph im Bereich, über den du integrierst, das Vorzeichen nicht wechseln.

Begründung hier: Polstelle x=5 liegt neben dem Bereich über den integriert wird und weitere Nullstellen hat die Funktion nicht.

Answer 1

1. Bestimme die Nullstellen:

(x^2 -4) = 0  -------> x1 = -2 und x2= 2.

In diesem Bereich gibt es keine Polstelle. Daher direkt integrieren.

2. ∫ (x^2 - 4)/(x-5) dx      | u = x-5, u+5 = x ; du/dx = 1, du = dx

= ∫ ((u+5)^2 -4) / u du

= ∫ (u^2 + 10u + 25 -4) / u du

= ∫ (u^2 + 10u + 21) / u du

= ∫ u + 10 + 21/u du 

= 1/2 u^2 + 10u + 21ln(u) + C

= 1/2 (x-5)^2 + 10(x-5) + 21ln |x-5| + C

Hier kannst du die ersten beiden Klammern noch auflösen und dann (oder jetzt) die Grenzen -2 und 2 einsetzen.

Comments

nur eine kleine Anmerkung -> falls der Substitutionshinweis

nicht zwingend befolgt werden muss, könntem an sich einige

Arbeit sparen, wenn man benutzt , dass

(x^2-4)/(x-5) = x+5 + 21* 1/(x-5)

da kann man doch dann eine Stammfunktion  F direkt hinschreiben :

F(x) = 1/2*x^2 + 5*x + 21* ln|x-5|

nebenbei:

beachte die Betragszeichen

.. denn ln(x-5) ist ja weder für x=-2 noch für x=+2 definiert.....

.

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Danke für die Anmerkung. Betragsstriche sind ergänzt.