Pyramiden aus Streichhölzern

Question

 

Anzahl Hölzchen

Figur 1	Figur 2	Figur 3	Figur 4	Figur 5	Figur 10	Figur 100	Figur n
3

Ich habe ein Problem. Wir müssen berechnen, wie viele Streichhölzer es für Dreiecke/Pyramiden braucht. Wir sollten eine Formel finden, mit der wir ohne zu zählen ausrechnen können, wie viele Streichhölzer man z. B. für eine Pyramide mit 100 Dreicken braucht.

Also für ein Dreieck braucht es ja drei Zündhölzer. Zwei Dreiecke kann man dann mit 5 Streichhölzern legen und drei mit 7. Dann baut man in die Höhe, dass es eine Pyramide gibt.
Also für 9 Dreiecke bräuchte es 18 Streichhölzer.

Ich habe mir folgende Formel überlegt. Dummerweise geht es mir nicht auf mit dieser Formel.
Kann mir vielleicht jemand sagen, wo ich da den Fehler gemacht habe?

1= 3

2=3+1*2

3= 3 + 2*2

4= 3 + 3*2

usw.

n= 3 + (n-1)*2

Danke für die Hilfe!

Comments

Ich schreibe die Anzahl Zündhölzer mal mit Indizes, damit es keine Verwechslung mit Zahlen gibt.

n₁= 3

n₂=3+ 3*2  = 9

n₃= n₂ + 5*2 = 9+10 = 19          Stimmt leider nicht!

vgl. Antwort von Yakyu: Zähle nur die ganzen Dreiecke, die hinzugefügt werden. Das sind diejenigen, die eine Seite rechts aussen haben.

n₄= n₃ + 7*2 = 19 + 14 = 33

usw.

n_n= n_n-1 + (2n-1)*2

Nun kannst du statt n₁ auch f(1) schreiben.

Angenommen mein Aufstellung stimmt bis hier hin. Fortsetzung:

Da die Differenzen aufeinanderfolgender Zahlen linear zunehmen, nehmen die Funktionswerte quadratisch zu.

Ansatz f(n) = an^2 + bn + c 

Setze 3 Resultate in die Funktionsgleichung ein und bestimme a, b und c.

Answer 1

noch mal von vorne: Folgende Beobachtung: Jeder untere Punkt ist die Spitze eines neuen Dreiecks beim Übergang zur nächsten Figur.

Figur 1: 1 Dreieck

Figur 2: 3 Dreiecke (2 kommen dazu)

Figur 3: 6 Dreiecke (3 kommen dazu)

Figur 4: 10 Dreiecke (4 kommen dazu)

usw.

Es gilt also: Figur n: ("Summe von 1 bis n") Dreiecke.

Tip: Habt ihr den kleinen Gauß gehabt?

Die Anzahl der Streichhölzer entspricht dann 3* Anzahl der Dreiecke der Figuren.

Gruß

Comments

Aber man braucht ja nicht für alle Dreiecke drei Streichhölzer, sondern nur noch zwei.

Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch

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Was ich hier aufgezählt habe sind die separaten Dreiecke die du brauchst. 

Answer 2

a1 = 3 ist klar

a2 = 3 + 2*3 = 9

a3 = 9 + 3*3 = 18

a4 = 18 + 4*3 = 30

a4 = 1*3 + 2*3 + 3*3 + 4*3

a4 = (1 + 2 + 3 + 4) * 3

an = n·(n + 1)/2 * 3 = 3·n·(n + 1)/2