F(t)=0,125t3-3t2+18t
= 0.125t(t^2 - 24t + 8*18) | 8*18 = 16 * 9 = (4*3)^2
Nullstellen t1 = 0, t2 = 12
Df=[0;12]
t=Stunden
f(t) = die Konzentration , mg/L
a)
Äußern Sie sich zum Zeitraum, in dem das Medikament im Blut nachgewiesen werden kann.
Wenn jede Konzentration > 0 nachgewiesen werden kann: von t = 0 bis 12.
b)
Beschreiben Sie den verlauf der Medikamentenkonzentration im Blut in Bezug auf ihr Zu-und Abnahmeverhalten sowie ihre maximale Ausprägung.
F(t)=0,125t3-3t2+18t
F'(t) = 3/8 t^2 - 6t + 18 =0
1/8 t^2 - 2t + 6 = 0
t^2 - 16 t + 48 = 0
(t - 4)(t-12) = 0
t1 = 4 Zeitpunkt für Maximum. Maximaler Wert: F(4)=0,125*43-3*42+18*4 = 32
0<t<4 Zunahme, 4<t<12 Abnahme der Konzentration.
t2 = 12 Zeitpunkt für lokales Minimum und Ende der Gültigkeit der Konzentrationsfunktion.
Weil der Koeffizient von t^3 grösser als 0 ist und zwei Extremalstellen vorkommen, liegt das Minimum links vom Maximum.
c)
Ermitteln Sie den Zeitpunkt des größten Konzentrationsrückgangs und bewerten Sie Ihre Berechnung.
Bei Polynomen 3. Grades liegt der Wendepunkt genau in der Mitte zwischen den beiden Extrempunkten.
Also bei W((4+12)/2 | (0+32)/2 )= W(8 | 16)
Einfacher geht die Berechnung wohl nicht.
d)
Ab dem Zeitpunkt des größten Konzentrationsrückgangs soll das Medikament schneller abgebaut werden.
Die Konzentration im Blut wird dann näherungsweise durch die Tangente an Gf an der Wendestelle von f beschrieben. Bestimmen Sie den Funktionsterm dieser Tangente und den Zeitpunkt, an dem das Medikament vollständig abgebaut ist.
F'(t) = 3/8 t^2 - 6t + 18 =0
m = F'(8) = 3/8 * 8^2 - 6*8 + 18 = -6
w: y = -6x + q
16 = -48 + q
64 = q
w : y = -6x + 64 = 0
64 = 6x
x = 32/3
Zur Zeit x = 32/3 = 10.66666... ist das Medikament vollständig abgebaut.
Achtung: Ich habe für die Zeit in der Gleichung der Wenderangente x verwendet (nicht t) . Das darfst du anders abschreiben.
