Gegeben ist die Funktion f mit f ( t) = 2 t * e^-0,02* t² , t ∈ IR . Ein Teil des Graphen von f ist für 0 15 ≤ ≤t am Ende der Aufgabe auf Seite 2 abgebildet.
a) Zeigen Sie, dass der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen und Wendestellen von f. Geben Sie zudem die Koordinaten der Extrempunkte an. (20 Punkte)
b) Bestimmen Sie mit Hilfe eines geeigneten Integrationsverfahrens eine Stammfunktion von f. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der t-Achse, dem Graphen von f und der Geraden mit t = 10 eingeschlossen wird. (10 Punkte)
c) Für 0 15 ≤ ≤t beschreibt f t( ) modellhaft die momentane Sauerstoffproduktion einer Buche an einem Sommertag mit 15 Stunden Sonnenscheindauer ab dem Sonnenaufgang ( 0) t = , wobei man t in Stunden und f t( ) in m3 pro Stunde angibt. Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f (siehe Seite 2) in diesem Sachzusammenhang unter Verwendung der Ergebnisse von a). (4 Punkte)
d) Interpretieren Sie den bei b) berechneten Flächeninhalt in diesem Sachzusammenhang. Bestimmen Sie, wie viele Sonnenstunden vergangen sind, bis die Buche insgesamt 20 m3 Sauerstoff produziert hat. (8 Punkte)
e) Eine Funktion g soll nun die momentane Sauerstoffproduktion in m³ pro Stunde an einem sonnigen Herbsttag beschreiben. Die Sonnenscheindauer beträgt 12 Stunden und die Intensität der auf die Blätter treffenden Strahlung ist geringer als an einem Sommertag. Damit verbunden ist eine geringere Sauerstoffproduktion. Das Maximum wird nach 4 Stunden ( 4) t = erreicht, also 4 Stunden nach Sonnenaufgang ( 0) t = .Skizzieren Sie den Graphen einer möglichen Funktion g in die unten abgebildete Zeichnung. Begründen Sie, wie man den Funktionsterm von f verändern kann, damit man den Term einer möglichen Funktion g erhält.
