wahr falsch Aussagen zu Mengen und Gruppen, Mächtigkeit und abelsch.

Question

habe hier noch ein paar wahr / falsch Aussagen, bei denen ich nicht 100% sicher bin...

1.  2ℤ zeichnet die Menge der geraden ganzen Zahlen, dann ist ⟨2ℤ, ⊕⟩ eine Gruppe.

2. Die Menge (2x²+2, 3x-5, 3) ist eine Basis des ℝ-Vektorraums ℝx³.

3. M=2x3 (ℂ, ⊕) ist eine abelsche Gruppe.

4. Jede Menge B Teilmenge von ℝ³ mit Mächtigkeit ΙBΙ=4 ist linear abhängig.

5. Es gibt einen Körper mit genau 13 Elementen.

6. Die Abbildung f (ℤ→ℝ größer 0  //  x→x²) ist Injektiv + surjektiv.

7. Die lineare Abbildung f (ℝ²→ℝ  //  x*y→-2+x) über dem Körper ℝ ist ein Isomorphismus.

meine Einschätzung: 1.w, 2.w, 3.f, 4.f, 5.w, 6.f, 7.?

Was meint ihr?

Comments

1. Wie ist \( \oplus \) definiert?

2. Versuch mal \(x^3\) als Linearkombination der gegebenen Basisvektoren zu schreiben.

3. Was ist gemeint? Die komplexen \(2\times 3\)-Matrizen mit der Matrixaddition?

4. Ich verstehe nicht ganz was gemeint ist. Ich vermute es ist gemeint, dass jede Menge von 4 Vektoren aus \( \mathbb{R}^3 \) linear abhängig ist. Das wäre meiner Meinung nach etwas unglücklich formuliert aber dennoch korrekt, aus Dimensionsgründen.

5. \( \mathbb{F}_{13} \)

6. \( (-2)^2 = 2^2 \Rightarrow \) nicht injektiv

7. Notation ist etwas merkwürdig. Wenn ich sie richtig interpretiere, ist \(f\) nicht injektiv, denn \(f(x,y) = -2+x \) unabhängig von \(y\).

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zu 1.) sollte ein + sein

zu 3.) ja genau

zu 5.) was bedeutet das? falsch

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zu 2.) das verstehe ich nicht. kannst du mir einen Tipp geben?

gruss

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1. und 3.: Versuch mal die Gruppenaxiome nachzuweisen. Dann siehst du ja, ob die Aussage jeweils stimmt oder nicht.

5. Nein, das ist ein Körper mit 13 Elementen, vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenk%C3%B6rper

2. Versuch mal reelle Zahlen \(a,b,c\) zu finden, sodass

$$ x^3 = a(2x^2+2)+b(3x-5)+3c $$

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ok nr.2) habe ich raus. λ1,2,3 sind Null, daher Vektoren lin. unabhängig = Basis des Vektorraums

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Ja die gegebenen Vektoren sind linear unabhängig, aber du kannst damit nicht \( x^3 \) durch eine Linearkombination erzeugen und dementsprechend ist es keine Basis des Vektorraums aller Polynome vom Grad drei.

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achso, wenn es aber nur ....Basis des ℝ-Vektorraums ℝ³ (ohne x) heissen würde, dann wäre meine Antwort richtig oder? denn die Anzahl des Basisvektoren (hier drei V.) passt zu ℝ³.

richtig?

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Nein, die Elemente von \( \mathbb{R}^3 \) sind keine Polynome.

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danke dir für die Erklärungen...gruss

Answer 1

1.  2ℤ zeichnet die Menge der geraden ganzen Zahlen, dann ist ⟨2ℤ, ⊕⟩ eine Gruppe.  w

2. Die Menge (2x²+2, 3x-5, 3) ist eine Basis des ℝ-Vektorraums ℝx³.

Für  Polynome mit Grad 2 stimmt es, aber für Grad 3 müsste noch was mit x^3 dazu kommen

3. M=2x3 (ℂ, ⊕) ist eine abelsche Gruppe.      Matrizen ?   Dann w

4. Jede Menge B Teilmenge von ℝ³ mit Mächtigkeit ΙBΙ=4 ist linear abhängig.  w, mehr als drei

lin. unabhängige gibt es nicht in R^3  

5. Es gibt einen Körper mit genau 13 Elementen.w

6. Die Abbildung f (ℤ→ℝ größer 0  //  x→x²) ist Injektiv + surjektiv.  nicht surjektiv, z.B. 2 kommt als

Funktionswert nicht vor

7. Die lineare Abbildung f (ℝ²→ℝ  //  x*y→-2+x) über dem Körper ℝ ist ein Isomorphismus.

f  ist gar nicht linear  f(5(x,y)) ist nicht 2*f(x,y)

meine Einschätzung: 1.w, 2.w, 3.f, 4.f, 5.w, 6.f, 7.?