Integration durch substitution von Integral (5+x)/(5-x)

Question

helft mir bitte beie dieser Aufgabe:

∫(5+x)/(5-x)

Das Ergebnis davon ist:F= -10*ln(5-x)+x

Ich habe für u x-5 gewählt. Wie man auf den Ln kommt verstehe ich. Aber wo kommt diese 10 her? Könnt ihr mir das bitte mit nem Rechenweg zeigen bitte?

Answer 1

Hi,

durch eine einfache Subst. kommt man hier meiner Ansicht nach nicht zum Ziel. Eine Polynomdivision sollte schon dabei sein.

$$\int \frac{5+x}{5-x}\;dx = \int -1 - \frac{10}{5-x} \;dx$$

Der Rest ist vollends klar, denke ich. Summandenweise integrieren:

$$= -x - 10\ln(5-x) + c$$

Grüße

Answer 2

\( u = 5-x\) d.h \( x = 5-u \) und außerdem \( dx = (-1)du \)

Setzen wir mal fleißig ein:

$$ \int \frac{5+x}{5-x} dx = (-1) \cdot \int \frac{5+(5-u)}{u} du = \int -\frac{10}{u} + 1du$$

Weiter schaffst du ja bestimmt alleine (bzw. hast du schon).

Gruß

Answer 3

$$ \int \frac{5+x}{5-x}dx=\int \frac{5}{5-x}dx+ \int \frac{x}{5-x}dx=\int \frac{5}{5-x}dx- \int \frac{x-5+5}{x-5}dx=\int \frac{5}{5-x}dx- \int \frac{x-5}{x-5}dx-\int \frac{5}{x-5}dx=\int \frac{5}{5-x}dx- \int 1dx-\int \frac{5}{x-5}dx=-10 \int \frac{1}{x-5}dx-\int 1 dx=-10 \ln |x-5|-x+c$$