Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von V ist. Beweisen Sie, dass je zwei Basen von U die gleiche Länge haben.

Question

Aufgabe:

Sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und \( U=\operatorname{Spann}\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right) \), wobei \( v_{1}, \ldots, v_{m} \in V \)

a) Zeigen Sie, dass \( U \) ein Untervektorraum von \( V \) ist.

b) Geben Sie ohne Begründung an, in welchem Verhältnis \( m \) zur Länge \( n \) einer Basis von \( U \) steht.

c) Beweisen Sie mit Hilfe Ihrer Aussage in b), dass je zwei Basen von \( U \) die gleiche Länge haben.

Ansatz/Problem:

Zu a) ist mir die Vorgehensweise für den Untervektorraumtest in einem speziellen Fall klar, allerdings habe ich schon immer das Problem gehabt, solche Vorgehensweisen in einem allgemeinen Fall anzuwenden, bzw. den Beweis allgemein zu führen.

Stimmt es bei b, dass m kleiner gleich n?

Answer 1

Du musst doch bei a einfach nur die Axiome zeigen. Also wir wissen zunächst einmal ,dass der span(v1,...vm) in V liegen.

Jetzt nehmen wir zwei Elemente(allgemeine) aus U und addieren diese um ein Axiom zu zeigen:
Wir nehmen also zwei beliebige Elemente,die in U liegen. Beide Elemente sind also verschiedene Elemente die aus span(v1,...vm) erzeugt werden. Addieren wir diese beiden Elemente ( wir definieren sie uns als r und s ), so wissen wir,dass diese wieder in U liegen, da eine Addition von r und s beide Elemente aus dem span stammen und die Summe davon natürlich wieder im span liegt.

Das machen wir für die adneren Axiome jetzt auch noch.

Bisschen umständlich ausgedrückt,aber hoffe du verstehst es.

b) ist richtig.

Comments

Kann man in c.) dann den Basisergänzungssatz anwenden, um zu folgern, dass zwei Basen dieselbe Länge haben?

---

Man soll es ja mit b) beweisen.

Wie genau,weiß ich grade nicht. Aber ich würde sagen, dass zwei Basen die gleiche Länge schon auf Grund der Definition einer Basis haben.

Eine Basis des R^n besteht ja nach Def. aus n linear Unabhängigen Elementen.  Alleine deswegen müsste die Länge die selbe sein.