Integralrechnung bei einer ganzrationalen Funktion - Integrationsgrenzen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die reellen Funktionen \( f_{a}: x \mapsto \frac{1}{2 a^{2}}\left(x^{3}-6 a x^{2}+8 a^{2} x\right) \cdot D_{f_{a}}=R \) und \( a \in R \wedge a>0 \).

Berechnen Sie in Abhängigkeit von a die Maßzahl des Inhalts der Fläche, die die Wendetangente des Graphen \( G_{f_{a}} \), der Graph \( G_{f_{a}} \) und die \( y \)-Achse einschließen.

Ansatz/Problem:

Ich habe die Lösung zu der Aufgabe, jedoch habe ich ein paar Fragen dazu.

Auf die Wendetangente mit y=-2x+4a bin ich selbst bekommen. Bezüglich der zu berechnenden Fläche wurde bei der Lösung die Differenzfunktion gebildet (das ist mir natürlich klar) und als Grenzen für die Stammfunktion dann 2a als obere und 0 als untere Grenze eingesetzt.

Warum ist das so? Ich brauch wirklich nur eine kurze Erklärung, was es mit den Integrationsgrenzen auf sich hat.

Answer 1

Hi Simon,

Zeichnung ist immer von Vorteil. Hier liegt wohl ein kleines Mißverständnis vor.

Die Grenzen sind x = 0 da die Fläche von der y- Achse eingeschlossen wird und der Schnittpunkt der Funktion und der Wendetangente (also der Nullstelle der Differenzfunktion) -> also an der Wendestelle. Und die ist bei x=2a.

Gruß

Comments

Kann man dann allgemein sagen, dass die Grenzen 0 und die Wendestelle sind, wenn ich jetzt so eine ähnliche Aufgabe habe?

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Ganz allgemein würde ich mich nicht drauf festnageln, da im Falle einer Funktion 3. Grades die einen Sattelpunkt besitzt es vorkommen kann, dass die Wendetangente die Funktion an einer weiteren Stelle schneidet. Dann müsste eine weitere Information gegeben sein.

Wichtig ist: Da du zur Berechnung der Wendetangente zumindest einen Teil der Kurvendiskussion gemacht hast sollte dir ungefähr klar sein wie die Funktion verläuft und somit eine Zeichnung immer weiter helfen :)

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Eine kleine Frage habe ich noch:

Wenn ich jetzt die Fläche der Wendetangente mit der Funktion und der x-Achse berechnen hätte sollen, wie hätte ich das machen müssen? Ganz allgemein gesagt?

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Allgemein brauchst du Nullstellen von Funktion und der  Wendetangente und Schnittpunkt(e) der beiden. Dann eventuell die Fläche in Teilintegrale aufteilen. Weiterhin: Skizzen sind essentiel zum verstehen :)

Answer 2

Habe mal auf die schnelle eine Zeichnung gekritzelt:

Du hast zwei Funktionen(grün,blau) und möchtest den Flächeninhalt der Funktionen und der y-Achse berechnen(Dreieck). Die Grenzen sind die Schnittpunkte der Funktionen mit der y-Achse bzw. Schnittpunkte der Funktionen.
Das ists ganz allgemein.

Comments

Wenn ich aber jetzt z. B. den Schnittpunkt der Wendetangente mit der y-Achse ausrechne, erhalte ich 4a und den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse mit =0. Warum sind dann die Grenzen 2a und 0 und nicht 4a und 0?

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Du musst dir (am besten mit einer Skizze) anschauen, wie die Fläche aussieht,bzw. wie sie begrenzt ist.

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Und :
y=-2x+4a
Schnittpunkt mit der y-Achse ist 2a.

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Wie komme ich bei dieser Aufgabe auf die Grenzen? Ich komme gerade echt nicht drauf.

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Schnittpunkt mit der y-Achse bedeutet doch, dass x=0 ist.

Daher:

y=-2*0+4a = 4a

Oder nicht?

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Oh, hab nicht richtig gelesen, tut mir leid. Habe x-Achse im Kopf gehabt, warum auch immer.

Die Antwort von  yakyu triffts genau.