Trigonometrische Sinusfunktion. Nullstellen von π/3 sin(2/3 π (t - 2.25)) = 0.

Question

Ich lerne gerade für das Abitur und möchte die Nullstellen einer trigonometrischen Sinusfunktion mit Verschiebung nach rechts berechnen.

\( \frac{\pi}{3} \sin \left(\frac{2}{3} \pi(t-2,25)\right)=0 \quad |: \frac{\pi}{3} \)
\( \sin \left(\frac{2}{3} \pi(t-2,5)\right)=0 \)

Ich habe nun schon Vieles probiert, komme jedoch nie auf die Musterlösung.

Answer 1

dafür musst du die Nullstellen von \( \sin(x) \) kennen.

Diese sind \( x_k = k\pi \), wobei \( k \in \mathbb{Z} \), was bedeutet, dass \(k\) eine ganze Zahl ist.

Wenn du jetzt deine Funktion mit der "normalen" Sinusfunktion vergleichst, siehst du ja den Zusammenhang: \( x = \frac{2}{3}\pi(t-2,25) \). Du musst also die Gleichung

$$ \frac{2}{3}\pi (t_k-2,25) = k\pi $$

nach \(t_k\) auflösen.

Als Ergebnis müsstest du: \( t_k = \frac{3}{2}k + 2,25 \) erhalten.

Gruß

Comments

Kann ich so für jede Siusfunktion vorgehen, ganz gleich ob nach rechts/links/oben/unten verschoben?

Könnten Sie mir noch einmal erklären, wie ich beim Auflösen nach tk vorgehen muss?

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Solange die Funktion nicht nach oben oder unten verschoben ist ja. Wenn sie auf der y-Achse verschoben ist musst du ein wenig anders vorgehen.

Die Umformung nach \(t_k\) solltest du doch hinbekommen, der 1. Schritt wäre den Faktor vor der Klammer zu entfernen (bzw. "rüber zu bringen ;)"

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In meiner Musterlösung steht als Ergebnis: S(k) = (0,75 + k *1,5)

Ich muss zugeben, dass ich allgemein wenig nachvollziehen kann, wie genau man bei der Berechnung vorgeht,  denn ich persönlich hätte jetzt mit der Substitution gearbeitet, also mit sin^-1(0). Gelingt mir aber auch nicht.

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Meine Lösung und die Musterlösung unterscheiden sich im Grunde nicht.

Den obigen Weg kriegst du ja genau durch Anwendung von \(\sin^{-1}\). Wo genau liegt also das Problem?

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Wo genau wurde oben sin^-1 angewendet? Ich bin sonst echt gut in Mathe aber bei diesem Thema habe ich ein Brett vor dem Kopf, wahrscheinlich weil es aus Zeitgründen lediglich einmal kurz für 30 Minuten angesprochen wurde ...

Ich lade im Nachfolgenden nochmal einen Lösungsversuch von mir hoch. Hier komme ich aber lediglich auf eine einzige Nullstelle ...

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Und gibt es eine solche allgemeine Formel Wie k*Pi auch für die Cosinusfunktion?

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Du hast den Arcussinus (sin^{-1} = arcsin) in dem Schritt benutzt, in dem du das Argument des Sinus (Argument = das, was in der Klammer hinter sin(...) steht )  Null gesetzt hast.

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Ist nicht schlimm jeder hat früher oder später mal Probleme mit Mathe ;)

Zu deinen Fragen:

Wo wurde Arcsin angewendet? Auf beiden Seiten (im Grunde). Du hast ja nur den Fall für eine Nullstelle berechnet und die Nullstelle \( t_0 \) bekommen, also die Stelle in meiner obigen Darstellung für den Fall \(k=0\).

Das du nur auf eine Nullstelle kommst liegt daran, dass dir dein Taschenrechner bei Verwendung vom Arcussinus auch nur einen Wert zurück gibt :).

Ja für Cosinus gibt es auch so eine Darstellung für die Nullstellen mit k. Die sieht aber so zum Beispiel aus:

$$ \cos(x) = 0 \Leftrightarrow x =  \frac{2k+1}{2}\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Answer 2

Die Nullstellen der Sinus-Funktion sind
x = π * k ( k = 0,-1,1,-2,-2 usw )

sin ( 2/3 * π * ( t  - 2.25 ) )
1.Nullstelle
2/3 * π * ( t  - 2.25 ) = 0
t - 2.25 = 0
t = 2.25
Probe
sin ( 2/3 * π * ( 2.25  - 2.25 ) )
sin ( 2/3 * π * 0 )
sin ( 0 ) = 0

Allgemeine Nullstellen
2/3 * π * ( t  - 2.25 ) = π * k

Ich hoffe ich konnte weiterhelfen.

Answer 3

https://www.matheretter.de/wiki/einheitskreis

Im folgenden Video siehst du, dass sin(kπ) = 0. k Element Z. Grund π entspricht 180°.

Löse daher die Gleichung

2/3 π(t -2.25) = kπ        |:π

2/3 (t-2.25) = k      | * 3/2

t - 2.25 = 1.5k

t = 2.25 + 1.5k, k Element Z.

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=qJOIoWTLkGY

Und gibt es eine solche allgemeine Formel Wie k*Pi auch für die Cosinusfunktion?

Auch das kannst du dem Video entnehmen.

cos( π/2 + kπ) = 0, k Element Z. 

Comments

Du hast in deiner Gleichungsumformung 2k*pi  stehen anstatt k*pi so wie es in den anderen 2 Antworten auch schon steht ;)

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Yakyu: Sollte behoben sein.