Bergbahn: Mittlere Steigung des Bahntrassees berechnen.

Question

Wie rechnet man so eine Aufgabe? 

Ein Bahn hat folgende Kenndaten:

Größte Steigung 25 %

Talstation 566 m.ü.M.

Bergstation 2241 m.ü.M.

Mittlere Geschwindigkeit 8.28 km/h

Fahrzeit 55 min.

Wie groß ist die mittlere Steigung des Bahntrassees?

(Resultat in %, auf eine Stelle nach dem Komma gerundet)

Answer 1

Höhenunterschied

2241 - 566 = 1675

Entfernung

8280 * 55/60 = 7590

Horizontaler Unterschied

√(7590^2 - 1675^2) = 7403

Mittlere Steigung

1675 / 7403 = 0.226 = 22.6%

Comments

Das kann nur eine Näherung sein wenn man die Bahn als gerade Strecke annimmt.

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Geschwindigkeit mal Zeit wäre die Bogenlänge der Verbindungslinie
oder Strecke.
Wie groß die tatsächliche horizontale Entfernung zwischen Tal- und
Bergstation ist läßt sich sowieso nicht ableiten.
Kurven oder Kehren sind in der Praxis sicherlich auch vorhanden.
Ebenso ist die Angabe der größten Steigung für die Berechnung
nicht von Bedeutung.
Die ganze Aufgabe ist mit den gegebenen Informationen also nicht
zu erfassen.
Die einfachtste Variante soll sicherlich berechnet werden.

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Man könnte aber sagen das die durchschnittlichere mittlere Steigung über 22.6% liegen muss. Denn bei einer Geraden hat die horizontale Differenz den größten Wert. Weiterhin kann die durchschnittliche Steigung nicht über der höchsten [maximalen] Steigung liegen. Dann könnte man also die mittlere Steigung auf ein Intervall von 22.6% bis 25% beschränken.

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die durchschnittlichere mittlere Steigung

der höchsten maximalen Steigung 

ein bisschen Redundanz kann ja nicht schaden

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Stimmt. Trotzdem schön zu wissen das sich überhaupt jemand das durchliest.

Ok. Ich klammer das mal.

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@mathecoach

mein Einwand die Steigung eventuell auf den Luftlinienabstand zu
beziehen ist sicherlich falsch.
Auf einer Streckenlänge von 7590 m ( Hypotenuse )
wird einen Höhenunterschied von 1675 m ( Gegenkathete )
überwunden.
sin ( a ) = 1675 / 7590 = 0.22
a = 12.75 °
tan ( a ) = 0.226 = 22.6 %
Hier können wir doch schon enden.

Während ich dies schreibe kommen mir wieder Zweifel.
Ich teile diese nachher einmal mit.

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Worauf wird die Steigung bezogen ?


Steigung : Δ h / Δ ( Luftlinie )
oder
mittlere Steigung : Δ h / s

Für jemand in der Bahn ist die Steigung der 2.Wert
Das ist also praxisgerechter.

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Zitat: "Das kann nur eine Näherung sein wenn man die Bahn als gerade Strecke annimmt."

Hm... warum?

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Zitat: "Das kann nur eine Näherung sein wenn man die Bahn als gerade Strecke annimmt." 

Hm... warum?

Unterteil die Bahn in einen Teil mit der Steigung 25% Steigung und einen Teil mit 0% Steigung. Das dürfte im Durchschnitt eine andere Steigung geben.

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ich verstehe gar nicht worüber hier überhaupt debattiert  wird.

Ich schrieb
Auf einer Streckenlänge von 7590 m ( Hypotenuse )
wird einen Höhenunterschied von 1675 m ( Gegenkathete )
überwunden.
sin ( a ) = 1675 / 7590 = 0.22
a = 12.75 °
tan ( a ) = 0.226 = 22.6 %

Damit ist die Frage beantwortet.
Über was wird hier geredet ?

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Über mein

Zitat: "Das kann nur eine Näherung sein wenn man die Bahn als gerade Strecke annimmt."  

was der Gast kommentiert hat.

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Um die Diskussion noch in die Länge zu ziehen:

In der Aufgabe steht: Bahntrassee. Trassee = Künstiicher "Damm / Wall" auf dem dann z.B. Schienen und ein Zugmechanismus verlegt sind. Es muss sich um eine Standbahn (Standseilbahn allenfalls Zahnradbahn) handeln, bei der eigentlich nichts "druchhängen" sollte. 

Dennoch ist das Ganze nur eine Näherung, da Standseilbahnschienen nicht exakt als Geraden verlegt werden können und daher mit s = v*t nicht exakt die Länge der geraden Verbindung von Tal- und Bergstation rauskommt. 

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Vorbemerkung
Meiner Meinung nach dürfte es anstelle
" Trassee "
" Trasse " heißen
Der in der Fragestellung verwendetete Ausdruck
" des Bahntrassees "
wäre zu ersetzen durch
" der Bahntrasse ".

Zur Sache :
Ob die Bahntrasse Kurven oder Kehren hat, mal sich nach links
oder rechts schlängelt, mal mehr oder weniger Steigung hat
ist meiner Meinung nach völlig wurscht.

Frage " Eine Wanderer erklärt : ich bin 7590 m auf einem Weg gegangen
( Schrittzähler mal Schrittweite ) und habe dabei 1675 Höhenmeter
überwunden. Wie groß ist die mittlere Steigung des Weges ? "

Was ist die Antwort ihr Experten ?

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In der Schweiz heisst es Trassee: http://www.duden.de/suchen/dudenonline/Trassee

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Wieder was dazugelernt.

Und zur Sache ?

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"Mittlere Steigung" einer Kurve mit Funktionsterm f(x) in einem Intervall [a,b] wird in der Regel als
m := (f(b) - f(a)) / ( b-a)  definiert.
In dieser Definition wird die Länge der Kurve nicht berücksichtigt.  
vgl. z.B. hier: https://www.mathelounge.de/197597/mittlere-steigung-berechnen 
Wenn man die Hypotenuse als Trasseelänge approximiert, weicht man von dieser Definition ab.

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Der Horizontale Abstand ( b - a ) ist doch überhaupt nicht bekannt.
Siehe meine Skizze.
Es ist nur die Bogenlänge bekannt.
Da die Funktion nicht bekannt ist kann nicht auf
den Horizontalen Abstand = [a,b] geschlossen werden.
Dann wäre die Aufgabe nicht zu beantworten.

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"Wenn man die Hypotenuse als Trasseelänge approximiert, weicht man von dieser Definition ab. "

Mathecoach berechnet aber dennoch eine sinnvolle Näherung, zumindest bei einer Standseilbahn. Schau vielleicht mal den Verlauf einer Standseilbahn auf einer 1: 50:000 er Karte an. 

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@georgborn. Du bist in deiner Berechnung auch von einem rechtwinkligen Dreieck ausgegangen. Ansonsten hättest du den SIN und den TAN nicht benutzen dürfen.

Die mittlere Steigung lässt sich aus den Angaben nicht exakt bestimmen. Daher habe ich erwähnt das es gilt, wenn man die Strecke als gerade annimmt.

Da eine Gerade die kürzeste Entfernung ist wäre dies die kleinste durchschnittliche Steigung die möglich ist.