Diskussion von f(x) = x^4 + 2.5x^3 + 3.5. Es geht um die 2 a) die erste b) und die e)?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=x^{4}+2,5 x^{3}+\frac{5}{3} \).

a) Die Funktion hat zwei Nullstellen. Die linke Nullstelle liegt ungefähr bei \( x=-2,38 \). Bestimmen Sie die rechte Nullstelle auf eine Dezimalstelle genau. (Hinweis: Evtl. ist es hilfreich, zuerst die Aufgaben b, c und d) zu lösen)

b) Bestimmen Sie das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches.

b) Bestimmen Sie die Extremwerte.

c) Bestimmen Sie die Wendepunkte.

d) Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen.

e) Die Gerade mit der Funktionsgleichung \( g(x)=-10 x-20 \) wird so lange verschoben, bis sie zur Tangente an den Funktionsgraphen wird. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser Tangente.

Answer 1

b) Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen.

Also brauchst du die Grenzwerte x gegen unendlich und

x gegen - unendlich.

x gegen unendlich setze mal große Zahlen ein 100, 500, 1000 etc, dann siehst du

f(x) geht gegen unendlich.

bei x gegen - unendlich genauso.

a) Newton-Verfahren,

Einmal mit Startwert -2,3 gibt dann den gegebenen Wert

und mit Start bei -1 gibt es ungefähr -1,046

e) Du brauchst also eine Tangente mit der Steigung - 10; denn der Graph von g(x) hat die Steigung - 10 und

beim verschieben ändert die sich ja nicht.

Tangente mit m = - 10 findest du bei x, wenn f ' (x) = - 10

also Ansatz   f '(x) = - 10 gibt    4·x³ + 15/2·x² = -10

Das geht auch wieder nur näherungsweise mit Newtonverfahren, also

quasi Nullstell von 4·x³ + 15/2·x²  + 10  bestimmen.

Gibt das Ergebnis von Mathecoach.

Answer 2

b) Im Unendlichen ist nur das x^4 entscheidet. x^4 ist grundsätzlich nach oben geöffnet.

lim (x --> -∞) f(x) = ∞

lim (x --> ∞) f(x) = ∞

e)

f(x) = x^4 + 2.5·x^3 + 5/3

f'(x) = 4·x^3 + 15/2·x^2

g(x) hat die Steigung -10. Damit suchen wir eine Stelle an der f die gleiche Steigung hat

f'(x) = 4·x^3 + 15/2·x^2 = -10 --> x = -2.333943582

Also bestimmen wir die Tangente

a = -2.333943582

f(a) = -0.4445204483

f'(a) = -10

t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a)

t(x) = -10 * (x + 2.333943582) -0.4445204483 = - 10·x - 23.78395626

Comments

Wertetabelle ergibt

[-3, 15.16666666;
-2, -2.333333333;
-1, 0.1666666666]

Man erkennt eine Nullstelle zwischen -3 und -2 und eine zwischen -2 und -1

Neue Wertetabelle

[-1.1, -0.1967333333;
-1, 0.1666666666]

Wir erkennen eine Nullstelle zwischen -1.1 und -1 etwas näher an -1.

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wie hast du den x wert von der Steigung -10 rausbekommen kann ich das irgendwie mit dem taschenrechner machen ?

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4·x³ + 15/2·x² = -10

Das ist eine kubische Gleichung. Der Casio fx991de kann z.B. kubische Gleichungen ausrechnen. Das ist der Taschenrechner den ich bis zum Abitur empfehle. Der Casio kann auch Gleichungen numerisch mit dem Newtonverfahren lösen.

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also kubische gleichungen das habe ich jetzt beim Taschenrechner bei Mode 5,4 eingegeben aber da kommen mehrere x werte raus woher wusstest du welcher x wert der richtige ist

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Lina19: Der Taschenrechner sollte da auf eine reelle und zwei komplexe Nullstellen kommen.

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=4*x%5E3+%2B+15%2F2*x%5E2+%3D+-10+

Du bist nur an reellen x-Werten interessiert.

Answer 3

Newton - Verfahren -----> ungefähr  - 1,05 !!