Integral ∫ (arctan 2x)² dx berechnen. Man berechne den x_{i}-Wert des Flächenschwerpunktes

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Funktion \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\arctan 2 \mathrm{x} \). Man berechne den \( \mathrm{x}_{i} \)-Wert des Flächenschwerpunktes \( S \left(x_{i}, y_{i} \right) \).

Die Fläche wird im Intervall \( I[0 ; 3] \) von der Kurve der Funktion fund der \( x \)-Achas gebildet.

Answer 1

Habe hierzu in meinen Unterlagen folgende Formeln gefunden.

\( x_{S}=\frac{M_{y}}{A} \)

\( A=\int \limits_{a}^{b} f(x) d x \)

\( M_{y}=\int \limits_{a}^{b} x · f(x) · d x \)

∫ arctan(2x) dx =∫ 1*arctan(2x) dx

u'= 1  ; u=x

v=arctan(2x); v'= \( \frac{2}{4x^2+1} \)

allgemein gilt:

∫ u'v dx= u*v -∫ u *v'dx

= x *arctan(2x)  - ∫ x *  \( \frac{2}{4x^2+1} \) dx

= x *arctan(2x)  - 2 ∫  \( \frac{x}{4x^2+1} \) dx

Substituiere z= 4x^2+1

-->

=x *arctan(2x)  - \( \frac{ln(4x^2+1)}{4} \) +C

Comments

Meines Wissens benötigst du dieses Integral nur für den \(y_s\)-Wert. Zur Bestimmung des \(x_s\)-Wertes, brauchst du die Integrale$$\int\arctan 2x\,\mathbb dx\text{ sowie }\int x\cdot\arctan 2x\,\mathbb dx.$$

Answer 2

Ich denke für die x-Koo des Schwerpunktes gibt es die Formel

x_S= 1/A * Integral von a bis b über x* f(x)dx  

Und für das A Integral über f(x).

Und das Integral über arctan(2x) bekommst du

durch part. Integration mit dem Ansatz

Integral 1 * arctan(2x)

=  x* arctan(2x) -  Integral  x* 2* 1 / (1+ 4x^2 )

=    x* arctan(2x) -  Integral   2x / (1+ 4x^2 )

=    x* arctan(2x) -   4 * Integral   8x / (1+ 4x^2 )   

Und jetzt ist das 2. Integral von der Art Integral   f ' (x) / f(x) Das geht mit ln.

Und das zweite:

Integral x * arctan(2x)  geht auch mit part. Integration

=  0,5x^2 * arctan(2x)  -   Integral  0,5x^2 * 2 / ( 4x^2 + 1)

=  0,5x^2 * arctan(2x)  -   Integral  x^2  / ( 4x^2 + 1)

=    0,5x^2 * arctan(2x)  - 0,25 * Integral  4x^2  / ( 4x^2 + 1)

=    0,5x^2 * arctan(2x)  - 0,25 * Integral ( 1   -     1/ ( 4x^2 + 1))

=    0,5x^2 * arctan(2x)  - 0,25 * Integral ( 1)     -   0,25 * Integral  1/ ( 4x^2 + 1))

Und damit müsste es gehen