Welche Maße muss ein solcher Behälter haben, damit zu seiner Herstellung möglichst wenig Material verbraucht wird?

Question

Aufgabe:

Es sind quaderförmige Behälter mit einem Volumen von 12 m^{3} herzustellen, bei denen die Breite, halb so groß wie ihre Länge ist. Welche Maße muss ein solcher Behälter haben, damit zu seiner Herstellung möglichst wenig Material verbraucht wird?

Answer 1

V = l·b·h = l·(l/2)·h = 0.5·h·l^2 = 12 --> h = 24/l^2

O = 2·(l·b + l·h + b·h) = 2·(l·(l/2) + l·h + (l/2)·h) = 3·h·l + l^2 = 3·(24/l^2)·l + l^2 = l^2 + 72/l

O' = 2·l - 72/l^2 = 0

l = 6^{2/3} = 3.301927248

b = l/2 = 1.650963624

h = 24/l^2 = 24/(6^{2/3})^2 = 2/3·6^{2/3} = 2.201284832

Comments

Wie bist Du auf die Werte von l,b,h gekommen?

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Verstehst du die erste Zeile ?

V = l·b·h = l·(l/2)·h = 0.5·h·l² = 12 --> h = 24/l²

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Ich denke mal Du hast dieses "die Breite ist halb so groß wie ihre Länge ist" in eine Formel umgewandelt, sodass 12 entsteht.

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ja. ich habe für b = l/2 eingesetzt und weiter? verstehst du die zeile?

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Ja so weit so gut, ich verstehe diese Zeile.

Die nächste ist auch verständlich, HB in NB einsetzten.

Dann ableiten und nullsetzten.

Und jetzt steh ich auf'm Schlauch...

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2·l - 72/l² = 0

Das soll also gelöst werden. Multiplizier mal die Gleichung mit l^2 und löse dann nach l auf. Sollte die nächste Zeile geben.

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Ok.

Und um b zu erhalten braucht man ja nur l zu halbieren.

Bei h setzt man dann nur die richtgen Werte ein.

Ach so. Danke Dir ;)

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Siehst du. Wenn man schritt für schritt eine Lösung durchgeht ist das gar nicht so schwer. Man muss allerdings die Zeit finden sich mit jeder einzelnen Zeile selbst auseinander zu setzen.