An welcher Stelle schneidet die Tangente die x-Achse?

Question

Rechenschritte wären für mich hilfreich. Es wäre sehr nett, wenn ihr mir dabei helfen könntet

P ist ein Punkt des Graphen von f. Bestimme die Gleichung der Tangente t durch den Punkt P. An welcher Stelle schneidet die Tangente die x-Achse?

a) f mit \( f(x)=-x^{2} ; P(2 | f(2)) \)

b) f mit \( f(x)=2 x^{2}-x ; P(-3 | f(-3)) \)$$ c) \text { f mit } f(x)=-x^{2}+3 ; P(4 | f(4)) $$d) f mit \( f(x)=-5 x+3 ; P(0 | f(0)) \)

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Vgl. auch Rubrik: "Ähnliche Fragen": https://www.mathelounge.de/70397/an-welcher-stelle-schneidet-die-tangente-die-x-achse

Answer 1

Funktionswert ausrechnen
f ( x ) = -x²
Funktionswert an der Stelle x = 2
f ( 2 ) = -4
( 2  | -4 )

Steigung ausrechnen
Steigung der Funktiion an der Stelle x = 2
f´( x ) = - 2 * *x
f ´( 2 ) = -4

Tangentengleichung bestimmrn
Tangentengleichung ( Gerade durch ( 2  | -4 ) )
y = m * x + b
y = -4
m = -4
-4 = -4 * 2 + b
b = 4
y = -4 * x + 4

Schnittpunkt der Tangente mit der x- Achse berechnen
Schnittpunkt mit der x -Achse  y = 0
0 = -4 * x + 4
x = 1

( 1  | 0 )

Answer 2

a)

f(x) = -x^2

t(x) = f'(2)·(x - 2) + f(2) = 4 - 4·x = 0 --> x = 1

Genau so solltest du auch die anderen Aufgaben lösen. Helfen kann die allgemeine Tangentengleichung an der Stelle a

t(x) = f'(a)·(x - a) + f(a)

Answer 3

Also für die gesuchte Tangentengleichung brauchst du einen Punkt und die Steigung in dem Punkt. Der Punkt steht jeweils schon in der Aufgabe. Die Steigung bekommst du als Ableitung der Funktion an der Stelle. Für a) bedeutet das: f(x)=-x^2, f'(x)=-2x, f'(2)=-2*2=-4. D.h. die Steigung an der Stelle 2 ist -4. Du setzt nun den Punkt P(2/-4) und die Steigung m=-4 in die Punkt Steigungsform ein:

(y-y1)=m*(x-x1): (y+4)=-4*(x-2). Aufgelöst ergibt das: y=-4x+4 als Tangentengleichung.