konstante Geschwindigkeit der Kurve f

Question

Hallo liebe Community.

ich weiß einfach nicht wie ich nun weiter machen soll..

Aufgabe:
Die Bewegung eines Teilchens auf dem Kreissegment im ersten Quadranten des Einheitskreis kann beschrieben werden durch f(t) = (cos(t),sin(t)), 0 ≤ t ≤ π/2

a) Warum hat das Teilchen, das der Kurve f folgt, eine konstante Geschwindigkeit? (Hinweis: Die Geschwindigkeit erhalten Sie durch die erste Ableitung.)

Ich habe die 1. Ableitung gebildet doch verstehe nicht, wie mir das zeigen soll, das die Geschwindigkeit konstant ist:

f ' (t) = (-sin(t), cos(t))
Meine Versuche:
f ' (0) = (0,1)
f ' (π/2) = (-0,027 , 0,9996)
Wie genau kann ich nun ablesen, das es sich um eine konstante Geschwindigkeit handelt?

Answer 1

f(t) = [COS(t), SIN(t)]

f'(t) = [- SIN(t), COS(t)]

Wir bilden den Betrag der Geschwindigkeit

|[- SIN(t), COS(t)]| = 1

Damit ist die Geschwindigkeit genau 1.

Comments

Also kann ich mir in meinem Unterlagen notieren das der Betrag der 1. Ableitung der Kurve die Geschwindigkeit ergibt?

Noch zum Verständnis: Ist in diesem Fall die Geschwindigkeit = Bogenlänge?

Vielen Dank

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Ja. Quasi der Kreisbogen den wir in einer einheit t zurücklegen.

Die Ableitung des Weges nach der Zeit ergibt die Geschwindigkeit

s' = v

Das ist dabei jetzt egal ob s ein Punkt auf einer eindimensionalen Strecke oder ein Punkt in einer zweidimensionalen Ebene oder gar ein Punkt im dreidimensionalen raum ist.

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Ich habe mich gerade gefragt, wie kommt man auf die 1, wenn man nur ein t hat?

Doch wenn man sich ja die Kurve f(t) ansieht ist es ähnlich wie mit den Vektoren.
Also:
|f (t)| = √(-sin²(t) + cos²(t))

|f(0)| = √(-sin²(0) + cos²(0)) = 1 :D.

(Eine Erklärung, falls jemand ein ähnliches Problem hat)

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Zunächst mal hast du

|[- SIN(t), COS(t)]| 

= √((- SIN(t))^2 + (COS(t))^2) 

= √(SIN(t)^2 + COS(t)^2) 

Es gilt der trigonometrische Pythagoras SIN(t)^2 + COS(t)^2 = 1

= √1 

= 1

Answer 2

Hi,
hier noch ein anderer Ansatz. Zum Zeitpunkt \( t \) hat das Teilchen einen Winkel $$  \varphi(t) = \arctan \left( \frac{\sin(t)}{\cos(t)}  \right) $$ mit der x-Achse. Daraus ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit \( \omega(t) \) zu $$ \omega(t) = \frac{d}{dt}\varphi(t) = \frac{1}{1 + \frac{\sin^2(t)}{\cos^2(t)}} \frac{\cos^2(t) + \sin^2(t)}{\cos^2(t)} = 1 $$ D.h. die Winkelgeschwindigkeit ist konstant.
Die Tangentialgeschwindigkeit berechnet sich zu $$ v_{\bot} = \omega \cdot r = 1  $$ da \( \omega = 1  \) und \( r = 1 \) gilt.

Damit ist die tangentiale Bahngeschwindigkeit konstant. Eine radiale Geschwindigkeit gibt es nicht, da der Bahnradius sich ja nicht verändert.