Question

Welcher Punkt der Funktion f(x) = (4 - x)·√x hat den maximalen Abstand zu P(1/2|0)?

Das Ergebnis sollte logischerweise (4|0) lauten.

Answer 1

f(x) = (4 - x)·√x

Abstand zum Punkt (0.5 | 0)

d^2 = (x - 0.5)^2 + ((4 - x)·√x - 0)^2 = x^3 - 7·x^2 + 15·x + 0.25

d^2' = 3·x^2 - 14·x + 15 = 0

x = 5/3 ∨ x = 3

Das erste ist dabei ein lokales Maximum, das zweite ein lokales Minimum. Vergleichen musst du dann noch mit den Randextrema ob diese größer sind.

d^2(0) = 1/4 = 0.25

d^2(5/3) = 1127/108 = 10.44

d^2(3) = 37/4 = 9.25

d^2(4) = 49/4 = 12.25

Comments

Danke. Aber das habe ich doch auch? :( Oder übersehe ich etwas? Die Lösung sollte aber (4|0) lauten...

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Vergleiche mit den Randextrema. Der Abstand ist bei 4 ist größer. Daher ist hier das Randextrema zu wählen.

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x = 5/3 ∨ x = 3 

sind die lokalen Extremstellen (ein lokales Max. und ein lokales Min).

Du musst immer auch noch die globalen im Auge behalten und mit daher diese beiden Abstände mit denen von P(4| f(4)) und Q(0|0) vergleichen.

Answer 2

Durchgerechnet ergibt sich:

d² = (x - 1/2)² + ((4-x)·√x - 0)² 

d² = x² - x + 1/4 + ((4-x)·√x)²

d² = x² - x + 1/4 + (4-x)²·x

d² = x² - x + 1/4 + (4²-8x+x²)·x 

d² = x² - x + 1/4 + 16·x-8x²+x³

d² = x³ + x² -8x² - x + 16·x + 1/4

d² = x³ - 7x² + 15·x + 1/4 

(d²) ^' = 3x² -14x + 15

3x² -14x + 15 = 0  | mit pq-Formel

3x² -14x + 15 = 0

x₁ = 2,33333 + 0,66667 = 3

x₂ = 2,33333 - 0,66667 = 1,66666

Graph mit Punkten: 

~plot~ (4-x)*sqrt(x);{0,5|0};{3|(4-3)*sqrt(3)};{7/3|(4-7/3)*sqrt(7/3)};x^3-7x^2+15x+1/4;[[12]];3x^2-14x+15 ~plot~

Comments

Vgl. noch meinen Hinweis zum lokalen vs. globalen Max. eben beim andern Kommentar.