Beweisformulierung zu |z| >= |Re(z)|

Question

Behauptung: |z| ≥ |Re(z)| und |z| ≤ |Im(z)|, wobei z ∈ ℂ

Nun zum Beweis. Der Satz stimmt ja offensichtlich, da z = x + yi die Summe von Realteil und Imaginärteil ist. Die Summe ist natürlich größer gleich ein einzelner Summand.

Wie formuliere ich das nun mathematisch korrekt?

Ich habe es algebraisch versucht mit Hilfe der Dreiecksungleichung und da kam nur Unsinn bei raus. Alternativ habe ich überlegt, ob ich es nicht auch geometrisch beweisen könnte. der Punkt Z entspricht in der Gaußschen Zahlenebene ja der Hypotenuse eines Dreiecks, wobei die Katheten der Real- und Imaginärteil ist. Dann müsste ich theoretisch nur beweisen, dass die Hypotenuse immer größer gleich einer Kathete ist.

Hat jemand vielleicht noch eine andere Idee, die eleganter wäre?

Answer 1

ich glaube da stimmt was nicht. Es muss doch sicherlich heissen \( |z| \ge | Im(z)| \) oder?

So, nun zum Beweis:

$$  |z| = \sqrt{ Re(z)^2 + Im(z)^2 } \ge \sqrt{Re(z)^2 } = | Re(z) | $$ und genauso geht das mit dem Imaginärteil. Die Ungleichung gilt, weil die Wurzelfunktion eine monoton wachsende Funktion ist.

Comments

Ja, ich hatte mich vertippt.

Krass, ich habe es auf so viele komplizierte weisen, aber deine ist die beste!

Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht,

vielen Dank :)

Answer 2

.

"

..ja offensichtlich,

da z = x + yi die Summe von Realteil und Imaginärteil ist."

->

denk darüber nochmal etwas nach -> denn was du da

geschrieben hast, ist doch total falsch ..

.

Comments

Oh ja, so meinte ich das nicht. Die imaginäre Einheit ist nicht Teil des Imaginärteils.
Das ist es, was die Aussage falsch macht, oder?

Danke, für die Aufmerksamkeit!