Hi,
aus der Aufgabenstellung nehme ich mal heraus, dass wir uns hier nur im positiven Bereich befinden.
Anschauliche Erklärung:
nehme mal beliebige \(t_1\) und \(t_2\) mit deiner obigen Voraussetzung. Da der Graph in diesem Bereich linksgekrümmt ist befindet er sich unterhalb der Geraden die durch die Punkte \(A(t_1 |f(t_1)) \) und \(B(t_1 | f(t_2) )\) geht (wir bezeichnen die Gerade mal als \(g(t)\). Somit gilt insbesondere, dass der Mittelwert von \(f(t) \) auf dem Intervall \([t_1,t_2]\) kleiner ist als der Mittelwert von \(g(t)\), da das jeweilige Integral (und somit die Fläche unter den besagten Graphen) kleiner ist. Das bedeutet:
$$ \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2}f(t)dt <\frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2}g(t)dt $$
Bei einer Geraden ist aber ja der Mittelwert über einem Intervall genau der Mittelwert der beiden Randfunktionswerte, also das arithmetische Mittel:
$$ \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2}g(t)dt = \frac{g(t_2)+g(t_1)}{2}=\frac{f(t_2)+f(t_1)}{2}$$
Zur kurzen Erklärung:
Du kannst aber natürlich, da du \(f(t)\) ja gegeben hast auch versuchen rechnerisch zu überprüfen, ob
$$\frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2}f(t)dt < \frac{f(t_2)+f(t_1)}{2} $$
gilt.
Gruß
