Körper, Vektorraum, lineare Unabhängigkeit

Question

Es seien ein Körper \(K\), ein \(K\){\nbd}Vektorraum~\(V\) und \(v, w, x, y \in V\) gegeben. Zeigen oder widerlegen Sie:

1. Wenn \((v, w, x)\) linear unabhängig in \(V\) ist, dann ist \((v + w, w + x, x + v)\) linear unabhängig in~\(V\).

2. Wenn \((v, w, x, y)\) linear unabhängig in \(V\) ist, dann ist \((w + x, - v + 4 w + y, 2 v - w + x - y)\) linear unabhängig in~\(V\).

Wie muss ich bei den Aufgaben vorgehen?

Comments

Du musst zeigen, dass die Matrizen, die die entsprechenden Koordinatentransformationen beschreiben, eine Determinante ungleich Null haben.

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Wie man Determinanten von Matrizen berechnet, das weiß ich...

Aber ich habe Vektoren, keine Matrizen. Wenn das, was du meinst, auch mit Vektoren funktioniert, dann wäre es sehr nett, wenn du beschreiben würdest, wie ich das mache.

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Lass dich mal hiervon inspirieren:

https://www.mathelounge.de/228721/beweis-ansatz-gesucht-zu-a-b-linear-unabh-a-a-b-lin-unabh?show=228723#a228723

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Also es ist so, dass die Abbildung (v, w, x) ↦ (v + w, w + x, x + v) eine bestimmte Darstellungsmatrix hat, deren Determinante muss ungleich Null sein, damit die entsprechende Abbildung umkehrbar ist. Dann nämlich werden linear unabhängige Vektoren auf linear unabhängige Vektoren abgebildet (was man auch noch beweisen kann).

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Das Problem ist, dass wir das nicht mit Determinanten machen, sondern irgendwie mit Linearkombination, Ausklammerung, gleich 0 setzen.. Bin mir aber nicht sicher, wie ich das machen soll?

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Achso, bei (a) hast du:

\( \lambda_1 v + \lambda_2 w + \lambda_3 x = 0 \Rightarrow \lambda_i = 0 \)

Es heißt nun:

Ist \( \mu_1 (v+w) + \mu_2 (w+x) + \mu_3 (x+v) = 0 \), so ist

\( (\mu_1+\mu_3) v + (\mu_2 + \mu_1) w + (\mu_3 + \mu_2) x = 0 \)

und damit (wegen oben) \( \mu_i + \mu_j = 0 \) für \( i \neq j \). Es ist

\( \mu_3 = -\mu_2 = \mu_1 = -\mu_3 \) und damit \( \mu_3 = 0 \). Selbiges gilt für \( \mu_1 \) und \( \mu_2 \).

Damit sind die Vektoren im Bildbereich linear unabhängig.

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Nicht, wenn der Körper K z.B. gleich F_{2} ist... Dann ist zwar {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} l.u., aber
{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} nicht - denn (1,1,0)+(1,0,1)-(0,1,1)=(2,0,0)=(0,0,0).

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In diesem Fall ist die Determinante der Darstellungsmatrix durch zwei teilbar (über \( \mathbb{Z} \) betrachtet) bzw. null in \( \mathbb{F}_2 \).

Answer 1

v,w,x lin. unabh. heißt

wenn a,b,c aus K die Gleichung a*v+b*w+c*x = 0 erfüllen, dann sind a=b=c=0

wenn nun a,b,c die Gleichung a(v+w) + b(v+x) + c(w+x) = 0 erfüllen,

dann ist nach dem Distrib.ges  a*v + a*w + b*v + b*x + c*w + c*x = 0

also nach Umformung (a+b)*v + ( a+c)*w + ( b+c) * x = 0

da v,w,x lin.unab. sind, sind alle Klammern gleich 0 und

damit a+b=0   und a+c= 0  und b+c = 0

also  a= -b gibt in die 2. eingesetzt   -b +c = 0 also c=b

zusammen mit der 3. Gleichung   b+b= 0 also (1+1)*b= 0

und wenn in dem Körper 1+1 ungleich 0 ist, also b=0

das in die anderen Gleichungen eingesetzt gibt a=b=c=0 q.e.d.

Der Satz gilt also nur für Körper, in denen 1+1 ungleich 0 ist.