Logarithmus... Lösen Sie grafisch: 2^x=5-x²

Question

a.) 2^x=5-x²

R:

2^x=5-2*logx

x*log2=5-logx

x(log2)=x(log5)

x= log5/log2

x=2,32

b.) 1,5^x=-1+2x 

x*log1,5= -1+2x      /+1/-x*log1,5

1=2x-x*log1,5

1= 2x(-1*log1,5)

2x=1/(-1*log1,5)

x= -0,17609 / 2

x=-0,08804

c.) 1,1^x=x²

R:

x*log1,1=2*logx

x=log2/log1

x=0

d.) 1,1^x=x³

R:

x*log1,1=3*logx

x(log1,1)=x(log3)

x=log3/log1,1

x=11,52

Ps.: Grafisches Lösen ohne TR ist das überhaupt möglich und wenn wie?

.

Comments

Hi spike,

deine Lösungen sind alle Käse. Das liegt in erster Linie daran, dass du die Logarithmusregeln nicht richtig verwendest und dir teilweise selber welche ausdenkst :D (so sieht es fast aus).

Es hat schon seinen Sinn warum du die Aufgabe "graphisch" lösen sollst. Durch einfache Gleichungsumformungen ist da nicht viel zu machen.

Rechnerisch kann man Lösungen zu solchen Aufgaben mit Approximationsverfahren annähern.

Gruß

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Ich möchte gleich einmal zu dieser zurück kommen:

Die Regel: lg u^v=v*lg u

Nun 2^x ...Regel: x*lg2

       -x².... Regel: 2*lgx (Nur weiß ich nicht was x ist)

a.) 2^x=5-x²

R:

2^x=5-2*logx

x*log2=5-2logx

x(log2)=x(5-log2)

x= 5-log2/log2

Was ist da jetzt so falsch daran?

.

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Warum sollte 5-2logx = x(5-log2) gelten? Und wie die Umformung danach zu stande kommt ist mir auch ein episches Rätsel :).

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Wenn ich das x alleine haben möchte muss ich ja irgenetwas damit machen und ich habe es ausgeklammert.

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Das nennt man schon Magie. Mit Mathematik hat das nix mehr zu tun. Du kannst doch das x nicht einfach aus dem Logarithmus ziehen!

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2^x=5-x²

x*lg2=5-2lg*x

was muss ich jetzt als nächstes machen?

Ich habe auf beiden Seiten ein x.

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Gar nix du kannst das rechnerisch nicht lösen. Du kannst die Lösung beispielsweise mit dem Newtonverfahren approximieren.

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Dachte ich mir schon :-).

Und das x bleibt von nun an ganz nahe am Logarithmus.

Answer 1

Statt 2 Kurven gleichzusetzen, kann man auch Differenz nehmen und Nullstellen bestimmen:

5-x*x-pow(2,x)  kann man direkt in den Plotter eingeben:

http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm

Oben rechts im Bild ist ein LINK zum Iterationsrechner, wo man im Beispiel 118 die selbe Formel einsetzen -> und so mehr Nachkommastellen bestimmen kann:

Comments

Ok habe es auf der Homepage gefunden und auch eingegeben.

Was sind jetzt diese gefundenen Nullstellen dieser Berechnung?

-2,186 und 1,484 sollten als Nullstellen (denke ich oder aber auch/eben darum Intervallgrenzen) sein.

Bei deinem Onlinerechner sehe ich schon einmal die 1,484 aber wo ist die -2,xxx ?

Ps.: Was bedeutet die Eingabe von pow(2,x) ?

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Die Lösungsmöglichkeit, die ich hier zeigte, war eine selbstkonvertierende Iterationsfunktion. Damit der andere Einschwingpunkt gefunden wird, muss die Initialisierung natürlich in der Nähe des anderen Punktes erfolgen: 

Init: a=0;aB[0]=-2.1;//Startwert  

Mehr zu pow(x,y) und auch exakte Umstellungsformeln unter: 

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

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Da Ihr die LambertW Funktion noch nicht hattet, sollt Ihr es nur grafisch lösen. Da sich die x-Koordinate aber bei einem Schnittpunkt schlecht ablesen lässt (siehe Antwort von Lu) hatte ich den Vorschlag der Differenz 2er Funktionen in eine Funktion zu packen-> da dann der Nullpunkt direkt auf der x-Achse leicht ablesbar ist. 

(2 Lösungen dieser Gleichungen -> mit Intervallgrenze hat das nichts zu tun)

Wie man Deine Gleichungen c) und d) "formal exakt umstellt" habe ich noch im LINK unter Beispiele §2 beschrieben. Natürlich hattet Ihr auch noch keine komplexen Zahlen (Lösung x4)

aber http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php kann auch das:

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Es ist halt so, dass ich keinen GTR besitze ;-).

Mfg

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Was hast Du denn genau: Internet-Handy hat doch fast jeder -> und da braucht man auch keine App, sondern kann die LINKS per Browser anklicken...  

Oder genaue Bezeichnung des Taschenrechners: gute haben die LambertW Funktion....

andere reagieren auf: solve 5-x*x-2^x=0 (manche finden die 2. Lösung mit "near x=-2.1"

Answer 2

Wenn da steht, dass du das grafisch lösen sollst, zeichnest du deine Funktionen mit einem grafischen Taschenrechner:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5Ex%3D5-x%5E2

Und nun lies du die Lösungen ab: 

Formal auflösen kann man diese Gleichungen nicht.