Fragen zu (Dreiecks-)matrizen

Question

Sind folgende Aussagen wahr oder falsch? Begründe.

a) Jede obere Dreiecksmatrix A∈ℝ^3x3 hat ausschliesslich reelle Eigenwerte.

b) Jede obere Dreiecksmatrix A∈ℂ^3x3 ist diagonalisierbar.

c) Jeder Eigenwert einer 3 x 3 Matrix mit reellen Koeffizienten ist reell.


Bei a) hätte ich gesagt, dass das stimmt, weil beim Ausrechnen der Determinante die Terme, die eine 0 erhalten, sowieso wegfallen und es somit nur einen Term gibt beim ausrechnen der Determinante

b) würde ich sagen ist möglich, da in der Diagonale ja keine Nullen vorkommen

und c) würde ich sagen, dass das nicht sein muss, z.b. wenn ein charakteristisches Polynom entstehen würde, dass keine reellen Nullstellen hätte.

Könnte jemand meine Annahmen überprüfen und eventuell die korrekte Begründung liefern fals meine falsch/ zu unpräzis wäre?

Answer 1

a) Jede obere Dreiecksmatrix A∈ℝ^3x3 hat ausschliesslich reelle Eigenwerte.

b) Jede obere Dreiecksmatrix A∈ℂ^3x3 ist diagonalisierbar.

c) Jeder Eigenwert einer 3 x 3 Matrix mit reellen Koeffizienten ist reell.


Bei a) hätte ich gesagt, dass das stimmt, weil beim Ausrechnen der Determinante die Terme, die eine 0 erhalten, sowieso wegfallen und es somit nur einen Term gibt beim ausrechnen der Determinante
besser vielleicht konkreter: wenn a,b,c die Diagonalelemente sind, ist das
char Pol  (x-a)(x-b)(x-c) und hat also nur  reelle Nullstellen:    a,b,c

b) würde ich sagen ist möglich, da in der Diagonale ja keine Nullen vorkommen
muss also nicht sein.

und c) würde ich sagen, dass das nicht sein muss, z.b. wenn ein charakteristisches Polynom entstehen würde, dass keine reellen Nullstellen hätte.

und das kann passieren! zum Beispiel bei -1,1,1 in der Nebendiagonale und sonst 0en

entsteht -(x-1)*(x^2+1) also auch komplexe Nullstellen

Comments

Danke,

b) habe ich deine Aussage nicht ganz verstanden, bezieht sich dein "muss also nicht sein" aus die Aufgabe oder auf meine Annahme?

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über C zerfällt doch jedes Polynom in Linearfaktoren, aber ob immer
algebraische Vielfachheit =  geometrische Vielfachheit
gilt, könnte ich so nicht sagen.
Deshalb ist die Aussage meiner Meinung nach falsch.