Quadratische invertierbare Matrix: Eigenwerte

Question

Sei A∈ℂ^nxn invertierbar.a) Kann 0 ein Eigenwert von A sein?b) Für jeden Eigenwert λ von A bezeichnet mλ seine algebraische und nλ=dimEλ(A) seine geometrische Multiplizität. Drücke die Eigenwerte von A^-1 und deren algebraische und geometrische Multiplizität als Funktion der Eigenwerte von A und deren Multiplizitäten aus.Wie macht man das?

Answer 1

a) Hinweis: \( \lambda = 0 \Rightarrow \det(A) = 0 \)

b) Hinweis: \( \lambda\) ist Eigenwert von \( A \in GL(n, \mathbb{C})  \Leftrightarrow  \lambda^{-1} \) ist Eigenwert von \( A^{-1} \in GL(n, \mathbb{C)} \).

Gruß

Comments

Vielen Dank, bei

a) sehe ich es nun: eine invertierbare Matrix A hat eine Det(A)≠0 und falls 0 ein Eigenwert ist, hätte sie eine Det(A)=0 also ist das ein Widerspruch.

bei b) habe ich den Durchblick leider noch nicht und ich verstehe deinen Hinweis auch nicht ganz. (Diese Notation ist mir nicht wirklich bekannt).

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a) den Hinweis musst du natürlich selber zeigen

b) Da steht " Ein Lambda ist genau dann Eigenwert einer invertierbaren Matrix A, wenn (lambda hoch minus 1) Eigenwert der inversen Matrix zu A ist".

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Ich verstehe immer noch nicht was man bei b) genau machen muss, ist jetzt das was du hingeschrieben hast schon die Lösung von "Drücke die Eigenwerte von A^-1 als Funktion der Eigenwerte von A und deren Multiplizitäten aus"? Und kann ich jetzt das selbe für die algebraische und geometrische Multiplizität machen?

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Das sind ja genau die Sachen die du dir überlegen sollst ;). Wenn dir der von mir angegebene Satz nicht klar ist und ihr den wirklich noch nicht in der Vorlesung hattet, dann kannst du ja versuchen ihn selbst zu zeigen. Sobald du den Kern der Aussage dann verstanden hast sind die restlichen Fragen auch kein Problem mehr.

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Aso heisst das dass für jeden Eigenwert λ^-1 von A^-1 die algebraische Multiplizität nun mλ^-1 und die geometrische Multiplizität nλ^-1=dimEλ^-1(A^-1) ist und das das nun das gesuchte in der Aufgabe ist?

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Wenn ich dich richtig verstanden habe dann ja, die zusammengehörenden Eigenwertpaare teilen sich dementsprechend die algebraische und geometrische Vielfachheit. Du musst das nur noch sauber notieren.

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D.h. wenn ich das richtig verstanden habe, dass ist dein Hinweis schon der Ausdruck der Eigenwerte von A^-1 durch A?

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ja genau :)

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:)