2^n < n^3 beweisen bzw. angeben und beweisen, für welche n dieser Aussage gilt.

Question

Durch ausprobieren kam ich zum entschluss, dass es für alle n von 1-9 gilt. Wie kann ich das aber beweisen oder muss ich das, da es nicht für beliebig viele n gilt?

Comments

Dürfen die n nur aus N stammen? Was ist mit n=0?

Betrachte vielleicht mal den Grenzwert n--> unendlich  (n^3 / 2^n)

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sry habe nicht angegeben, aber n≥1 für beide Folgen.

Answer 1

Du vermutest das es ab 10 nicht mehr gilt:

2^n > n^3

Induktionsanfang n = 10

2^10 > 10^3

1024 > 1000

stimmt

Induktionsschritt: n --> n + 1

2^{n + 1} > (n + 1)^3

2 * 2^n > n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1

2 * n^3 > n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1

n^3 - 3·n^2 - 3·n - 1 > 0

n > 3.847322101

Das ist für n > 9 sicher erfüllt.