2n < n3 beweisen bzw. angeben und beweisen, für welche n dieser Aussage gilt.

Question

Durch ausprobieren kam ich zum entschluss, dass es für alle n von 1-9 gilt. Wie kann ich das aber beweisen oder muss ich das, da es nicht für beliebig viele n gilt?

Comments

Dürfen die n nur aus N stammen? Was ist mit n=0?

Betrachte vielleicht mal den Grenzwert n--> unendlich  (n³ / 2ⁿ)

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sry habe nicht angegeben, aber n≥1 für beide Folgen.

Answer 1

Du vermutest das es ab 10 nicht mehr gilt:

2ⁿ > n³

Induktionsanfang n = 10

2¹⁰ > 10³

1024 > 1000

stimmt

Induktionsschritt: n --> n + 1

2^{n + 1} > (n + 1)³

2 * 2ⁿ > n³ + 3·n² + 3·n + 1

2 * n³ > n³ + 3·n² + 3·n + 1

n³ - 3·n² - 3·n - 1 > 0

n > 3.847322101

Das ist für n > 9 sicher erfüllt.