Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität untersuchen

Question

Aufgabe 9:

Untersuche die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:

(a) \( \mathrm{f}_{1}: \mathrm{R} \longrightarrow \mathrm{R}: x \longmapsto 3 x-2 \)

(b) \( \mathrm{f}_{2}: \mathrm{Z} \longrightarrow \mathrm{Z}: x \longmapsto 3 \mathrm{x}-2 \)

(c) \( \mathrm{f}_{3}: \mathrm{R} \times \mathrm{R} \longrightarrow \mathrm{R}:(x, y) \longmapsto 5 x+3 y \)

(d) \( f_{4}: R \times R \longrightarrow R \times \mathbb{R}:(x, y) \longmapsto\left(y, x^{2}+y\right) \)

könntet ihr mir helfen? Ich habe keine Idee, wie man das untersucht.

Danke

Answer 1

injektiv.  Schauen, ob man aus f(a)=f(b)
irgendwie a=b herleiten kann.
Bei 1...  3a-2  = 3b-2 |+2
              3a = 3b
                 a=b  also injektiv.
surjektiv:  Schauen, ob es zu jedem y aus R ein x aus r gibt mit
                        f(x) = y
also  3x-2=y
              3x= y+2
                 x = (y+2)/3   kann man immer ausrechnen, also surjektiv.

Comments

danke erstmal.

Also ist die Abbildung bei 1 bijektiv.

bei 2) dann auch?

Aber wie macht man es beim kartesischen Produkt?

---

bei 2 nicht surjektiv, denn z.B. für y=2 gibt es kein x,

denn das Erg. ist ja nicht in Z.

bei 3 nicht injektiv, denn für (1;1) erhält man 8

und für (1,6 ; 0 ) auch.

bei 4 ) auch nicht (1;4) und (-1;4) habe gleiche Bilder.

---

aber Injektiv sind 3 und 4?

---

3 und 4 nicht injektiv (Begründung s.o.)

aber 3 jedenfalls surjektiv, schon durch die Bilder von (x,0) wird ganz R abgedeckt.

bei 4 surjektiv, müsste ja geprüft werden, ob es zu jedem (a,b) ein (x,y)

gibt mit f(x,y) = (a,b)  also (y, x^2 + y ) = (a,b)

y=a und x^2 + y = b

x^2  +a = b

x^2 = b-a

also gibt es für b < a keine Urbilder, also nicht surjektiv.

---

Mir ist es klar geworden