Wir definieren f:R^2→R durch f(x) = min{x1,x2}.
a)
Beweisen Sie, dass f im Punkt (1 0) partiell differenzierbar ist und berechnen Sie die partiellen Ableitungen im Punkt (1 0).
b)
Beweisen Sie, dass f im Punkt (1 1) nicht partiell differenzierbar ist
Ich weiß leider nicht weiter :(
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aus Duplikat: "Partielle Differenzierbarkeit in einem Punkt überprüfen"
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Und zwar habe ich eine Funktion f:ℝ2 → ℝ gegeben durch $$ f\left( x \right) =min({ x }_{ 1 }, { x }_{ 2 }) $$
Nun soll ich zeigen, dass die Funktion in (1,0) differenzierbar ist und dazu die partiellen Ableitungen bilden. Dazu habe ich an die Definition des Grenzwertes gedacht:
$$\frac { \partial f(x) }{ \partial { x }_{ 1 } } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f({ x }_{ 1 }+h,{ \quad x }_{ 2 })\quad -\quad f({ x }_{ 1 },\quad { x }_{ 2 } )}{ h } = } \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { min\left\{ { x }_{ 1 }+h,{ \quad x }_{ 2 } \right\} \quad -\quad min\left\{ { x }_{ 1 },{ \quad x }_{ 2 } \right\} }{ h } = } \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { min\left\{ { 1 }+h,{ \quad 0 } \right\} \quad -\quad min\left\{ { 1 },{ \quad 0 } \right\} }{ h } } = \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 0\quad -\quad 0 }{ h } } = \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 0 }{ h } } $$
Da gleiche mache ich dann mit der partiellen Ableitung nach x2 :
$$\frac { \partial f(x) }{ \partial { x }_{ 1 } } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f({ x }_{ 1 },{ \quad x }_{ 2 }+h)\quad -\quad f({ x }_{ 1 },\quad { x }_{ 2 }) }{ h } = } \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { min\left\{ { 1 },{ \quad 0 }+h \right\} \quad -\quad min\left\{ { 1 },{ \quad 0 } \right\} }{ h } } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 0\quad -\quad 0 }{ h } } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 0 }{ h } } $$
Jetzt ergeben beide partiellen Ableitungen den selben Grenzwert, was zeigen soll, dass eine partielle Ableitung in (1,0) existiert. Aber irgendwie sieht das nicht richtig aus.
In einer weiteren Aufgabe solle ich dann zeigen, dass f(x) in (1,1) nicht partiell differenzierbar ist. Die sollte doch nach dem selben Prinzip verlaufen oder sehe ich das falsch?
