Spiegelung von Punkten : Punkt A(3/1/5) ist der Bildpunkt von A'(1/-5/7)

Question

Ich habe folgende Frage:

Der Punkt A(3/1/5) ist der Bildpunkt von A'(1/-5/7)

a) Berechne die Koordinaten des Punktes Z, wenn A an Z gespiegelt wurde.

b) Bestimme eine Gleichung der Ebene E, wenn A an gespiegelt wurde.

c) Es gibt unendlich viele Geraden, bei denen der Punkt A bei Spiegelung an einer Gerade auf A' abgebildet wird. Wo liegen diese Geraden?

Ich habe leider keinen blassen Schimmer, wie ich diese Aufgaben lösen kann und finde auch keinen Ansatz.

Also sonst noch einmal zu

a und b)

Spiegelpunkt = Vektor AA' ist gleich (-2/-6/2)
(3/1/5) + 1/2 * (-2/-6/2) also = (2/-2/6)

und bei der Ebene ist die Geradengleichung = E:[ x - (2/-2/6)]*(-2/-6/2)

und ja also mehr weiß ich nicht und ob das richtig ist bezweifle ich.

Danke an alle Helfenden!

Answer 1

Der Punkt A(3/1/5) ist der Bildpunkt von A'(1/-5/7)

a) Berechne die Koordinaten des Punktes Z, wenn A an Z gespiegelt wurde.

Z liegt in der Mitte zwischen A und A'

Z = 1/2·([3, 1, 5] + [1, -5, 7]) = [2, -2, 6]

b) Bestimme eine Gleichung der Ebene E, wenn A an E gespiegelt wurde.

AA' = [1, -5, 7] - [3, 1, 5] = [-2, -6, 2] = - 2·[1, 3, -1]

X·[1, 3, -1] = [2, -2, 6]·[1, 3, -1]

x + 3·y - z = -10

c) Es gibt unendlich viele Geraden, bei denen der Punkt A bei Spiegelung an einer Gerade auf A' abgebildet wird. Wo liegen diese Geraden?

Die Geraden gehen durch Z und liegen in der Ebene E.

Comments

Könntest du mir bitte b) nocheinmal ein wenig genauer erläutern. Ich kann die Gleichung nicht ganz nachvollziehen.

AA' = [1, -5, 7] - [3, 1, 5] = [-2, -6, 2] = - 2·[1, 3, -1]  das hier verstehe ich aber den Rest nicht

X·[1, 3, -1] = [2, -2, 6]·[1, 3, -1]          Warum setzt du es gleich? und woher kommt das X? Achso und wieso rechnest du bei [2, -2, 6]·[1, 3, -1]  quasi den Punkt Z mal den Vektor AA' ?

Danke für die Hilfe

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Dein Ansatz war doch das gleiche

(x - [2, -2, 6])·[-2, -6, 2] = 0

x·[-2, -6, 2] - [2, -2, 6]·[-2, -6, 2] = 0

x·[-2, -6, 2] = [2, -2, 6]·[-2, -6, 2]

x·[1, 3, -1]·(-2) = [2, -2, 6]·[1, 3, -1]·(-2)

x·[1, 3, -1] = [2, -2, 6]·[1, 3, -1]

Soweit klar ?

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Skalarprodukt von Vektoren

[a1, a2, a3]·[b1, b2, b3] = a1·b1 + a2·b2 + a3·b3