Exponentielle Prozesse. Ausbreitung eines Gerüchts.

Question

Hallo Mathematiker ,

ich verstehe es nicht , bitte erläutert und ggf. Rechnung , für jede Hilfe

Aufgabenstellung lautet :

An einer Schule mit 1000 Schülern wird pünktlich um 08:00 Uhr das Gerücht gestreut , dass es eine Woche Ferienverlängerung gibt . Das Gerücht verbreitet sich nach der Formel :   N ( t ) = b - c a hoch t ,  d.h. der Formel für begrenztes exponentielles Wachstum.

Hierbei ist a = 0.8 ,  c  = 995  und b = 1000

   ( t in Stunden ,  N (t) in Personen )

1 ) zeichnen sie die wachstumsfunktion für das Intervall 0 ( größer gleich ) t ( größergleich ) 9

( 08:00 Uhr ; t= 0 )

Welche Bedeutung haben die Parameter a , b und c ?

2 ) wie viele Schüler kennen das Gerücht schon um 09:00 Uhr , um 12:00 Uhr , um 17:00 Uhr ?

Wann kennt die Hälfte der Schüler das Gerücht ?

3 ) Wie viele Personen streuten das Gerücht zu Beginn des Prozesses ?

4 ) Welche Unterschiede bei der Verbreitung des Geruchtes würden sich ergeben , wenn der Wert des Parameters  a  auf ;  a = 0.9 erhöht wird ?

Answer 1

N(t) = 1000 - 995·0.8^t

~plot~1000-995*0.8^x;[[-1|18|-100|1100]]~plot~

Comments

1 )

Welche Bedeutung haben die Parameter a , b und c ?

a: Wachstumsfaktor bzw. hier Der Faktor wie schnell sich die Anzahl der Personen ändert, die noch nicht vom Gerücht wissen. Pro stunde werden das 20 Pozent weniger.
c: Personen, die am Anfang das Gerücht noch nicht kannten.

2 ) wie viele Schüler kennen das Gerücht schon um 09:00 Uhr , um 12:00 Uhr , um 17:00 Uhr ? 

N(1) = 204
N(4) = 592
N(9) = 866

Wann kennt die Hälfte der Schüler das Gerücht ?

N(t) = 500 --> t = 3.084 h

3 ) Wie viele Personen streuten das Gerücht zu Beginn des Prozesses ?

N(0) = 5

4 ) Welche Unterschiede bei der Verbreitung des Geruchtes würden sich ergeben , wenn der Wert des Parameters  a  auf ;  a = 0.9 erhöht wird ?

Dann breitet sich das Gerücht langsamer aus, weil die Anzahl der Personen die noch nicht davon wissen von Stunde zu Stunde nur um 10% abnehmen.

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Hallo ,

ich danke Ihnen vielmals für ihre Antwort habe ausser bei der Aufgabe 2 die Lösung von t=3.084 h nicht recht verstanden

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Zu 2:

Der Ansatz ist N(t)=500=1000-995*0,8^t

Auflösen:

995*0,8^t=500

0,8^t=(500/995)

Um jetzt an t zu kommen, musst du den Logarithmus verwenden:

Ln(0,8^t) = Ln (500/995)

Nach dem Logarithmengesetz darfst du jetzt das t vorziehen:

t*Ln(0,8)=Ln(500/995)

Das ergibt (mit dem Taschenrechner):

t=Ln(500/995)/Ln(0,8)=3,084

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Danke koffi123 , jetzt habe ich es auch raus

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Hallo ,

ich habe bei Aufgabe 1 noch eine Frage ,

wie kommen Sie auf den Prozentwert 20 ( 20% ) ?

Mein Ansatz ist das ich 363*100 und dann durch 490 teile und habe ich einen wert von = 0.15

diesen habe ich dann mal 100 genommen und erhalte 15 %

Anmerkung den wert 363 habe ich von der Rechnung N (t) = 1000-995 * 0.8 ^ 2

Und den Wert 490

N ( t ) = 1000-995*0.8 ^ 3

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Naja, die Anzahl der Schüler die in einer bestimmten Stunden noch nichts wissen sind 80% von denen die es in der Stunde davor noch nicht gewusst haben. D.h. (1-0,8)=0,2, das ist sowas wie das Gegenereignis, nämlich die die pro Stunde dazu kommen und es wissen. Das sind 20% von denen die es in der Stunde davor nicht gewusst haben.

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Sie haben bei Aufgabe 1 geschrieben das :

Pro stunde werden das 20 Pozent weniger.

ich denke aber es werden 20% mehr Schüler die das Gerücht erfahren .

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Die Schüler die von dem Gerücht noch nichts wissen nehmen pro Stunde um 20% ab.

Das heißt nicht das die Schüler die davon wissen um 20% zunehmen.

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Danke für die Korrektur hatte mich wohl geirrt .

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was passiert bei der auflösung mit der 1000?

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Wenn wir was genau auflösen ? Meinst du dieses:

N(t) = 500

1000 - 995·0.8^t = 500

- 995·0.8^t = - 500

995·0.8^t = 500

0.8^t = 500/995

t = LN(500/995) / LN(0.8) = 3.084 h