Allgemeine Frage zur Partialbruchzerlegung

Question

Ich habe eine kleine Frage zur Partialbruchzerlegung. Wie kann ich schnell und einfach die Faktorisierte Form finden ?

Bsp:

$$ \frac { 2x^{ 2 }\quad +\quad 2x\quad +\quad 4 }{ { x }^{ 3 }\quad +\quad { 3x }^{ 2 }\quad -x\quad -3 }  $$

ergibt faktorisiert:

(x - 1)(x + 1)(x + 3) im Nenner

Gibt es eine Möglichkeit, mit der man diese faktorisierte Form im Nenner

schnell bestimmen kann ?

Danke für kommende Antworten !

Answer 1

Als ganzzahlige Nullstellen kommen nur die Teiler von dem konstandien Glied "-3" in Frage.

Das sind also ±1 und ±3

Fange mit 1 an und mach z.B. das Horner Schema. Das geht recht schnell.

x = 1

1	3	-1	-3
0	1	4	3
1	4	3	0

Jetzt noch die pq-Formel oder noch schneller den Satz von Vieta

x^2 + 4x + 3 = 0

(x + 3)(x + 1) = 0

Man hat also (x - 1)(x + 3)(x + 1) als faktorisierte Form.

Comments

Danke Mathecoach !

Gut also Horner Schema das ist sehr Sinnvoll...  Mich würde dann nur noch interessieren, wie du die (x-1) in der faktorisierten Form erklären kannst. Kann man sich diese auch herleiten, ich meine du bist ziemlich geübt darin, aber wie sehe ich das als "Anfänger"

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Ich habe es mal eben überprüft, ist es wahr, dass man Mittels Polynomdivision

von (x^3+3x^2-x-3) / (x^2+4x+3) auf (x-1) kommt ?

wenn dem so ist, habe ich alles verstanden ?

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Wenn man eine Nullstelle n rät dann ist (x - n) ein Linearfaktor.

Bei x^3 + 3x^2 - x - 3 kann man sofort die Nullstelle 1 erkennen, weil die Summe der Koeffizienten 1 ist. Wenn man die 1 als Nullstelle hat und damit das Horner Schema macht, dann teilt man wie bei der Polynomdivision durch (x - 1) also durch den Linearfaktor dieser Nullstelle.

Das Horner Schema ersetzt die Polynomdivision. Diese braucht nicht angewendet zu werden.

Answer 2

Gibt es eine Möglichkeit, mit der man diese faktorisierte Form im Nenner schnell bestimmen kann?

(a) Mit dem Distributivgesetz ist man hier in drei eher elementaren Schritten schon fertig:
$$ x^3 + 3x^2 -x -3 = \\ x^2\cdot\left(x + 3\right) -1\cdot\left(x + 3\right) = \\ \left(x^2 - 1\right) \cdot \left(x + 3\right) = \\ \left(x - 1\right) \cdot \left(x + 1\right) \cdot \left(x + 3\right). $$

(b) Anderer Möglichkeit: Das Produkt der Konstanten aus der Linearfaktorzerlegung muss die Konstante aus der polynomform ergeben. Hier ist \((-1) \cdot 1 \cdot 3 = (-3)\) die einzige Produkt mit ganzzahligen Faktoren.

(c) Noch eine Überlegung: Hat man drei verschiedene Nullstellen durch Ausprobieren der vier ganzzahligen Teiler des konstanten Summanden der Polynomform gefunden, kann man aufhören, denn mehr Nullstellen kann es hier nicht geben.

Es gibt weitere Möglichkeiten!

Comments

Danke, ihr habt mir sehr gut geholfen. Ich habe jetzt keine weiteren Fragen mehr.

Danke !