Integral bestimmen (x^{6}-1)/(x^{6}+1)

Question

Ich möchte gerne das Integral dieser Funktion ermitteln, dessen obere Grenze 1 und untere Grenze 0 ist.

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand hierbei helfen könnte. Danke !

$$ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { { x }^{ 6 }-1 }{ { x }^{ 6 }+1 }  }  $$

Danke !

Answer 1

$$ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { { x }^{ 6 }-1 }{ { x }^{ 6 }+1 }  }\text{d}x = \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 1-\frac { 2 }{ { x }^{ 6 }+1 } \right)} \text{d}x $$

Comments

Woher Stammt der Gedankengang ? Also wie kommt man auf diese Form ?

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Oben im Zähler \(+1-1\) ergänzt.

Weiter bin ich allerdings noch nicht gekommen.
Das Integral sieht nicht schön aus...

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Hier findest Du dein Integral bei WolframAlpha:

int( ( x^6-1)/(x^6+1), x=0..1)

Wenn Du die Grenzen heraus nimmst, bekommst Du auch die Stammfunktion.

Händisch finde ich das irgendwie aufwändig, aber vielleicht findet ja noch jemand eine zeitsparende Substitution.

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Man kann auch eine Polynomdivision durchführen und
kommt dann aufs gleiche.
Ich finde das der neue Term zum Integrieren einfacher aussieht,
ist er aber nicht.
Mein Matheprogramm gibt eine ellenlange Stammfunktion aus.

~plot~ ( x^6 -1 ) / ( x^6 + 1 ) ~plot~

Answer 2

.

 wie  Gast jd130 schon notiert hat brauchst du jetzt nur noch
ne Stammfunktion  zu g(x)= 1/(x^6 +1)

und dazu empfiehlt es sich, eine Partialbruchzerlegung zu machen:

dazu solltest du zunächst  eine Produktzerlegung von x^6+1 finden:

(x^6+1) = ( x^2 + 1 ) * ( x^4 - x^2 +1 )

und dann noch

( x^4 - x^2 + 1 ) = ( x^2 + x* sqrt(3)  + 1 ) * ( x^2 - x* sqrt(3)  + 1 )

so -
 mach nun selbst weiter..

.> ....
.

Answer 3

(x^6-1)/(x^6+1) = 1  - 2/(3x²+3) + (2x²-4)/(3x^4-3x²+3)  

also 3 einzelne Integrale

das hintere hatte ich schon mal http://www.gerdlamprecht.de/Integral_Substitutionen.html

§D3

und Integral 2/(3x²+3)dx = 2 atan(x)/3

Comments

da keine Reaktion, hier das exakte Ergebnis:

=1-Pi/3-(log(2+sqrt(3)))/sqrt(3)

=-0.80754354749754409368530871597357345226735086407221...

Answer 4

dieses Integral hast Du doch sicher erfunden ?

:-)

hab auch mal a bissl gerechnet, vielleicht hilft es Dir

Die beiden erhaltenen Integrale werden  jeweils in 2 weitere Integrale aufgespalten.

Schema:

1. Integral: Zähler ist die Ableitung des Nenners

2. Integral über die quadratische Ergänzung

dann hast du 4 weitere Integrale ,an der Stelle höre ich aber auf , sowas verlangt keiner.

:-)

Lösung:-0.8075