Funktionsschare Kurvendiskussion

Question

Wie würde die Kurvendiskussion zu der folgenden Funktionsschare aussehen ? (Schnittpunkte, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte)

f_t(x)=(x-t)*e^x

Vielen Dank schonmal

Answer 1

f_t(x)=(x-t)*e^x

Nullstellen
( x - t ) * e^x = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist
x - t = 0
x  = t
N ( t | 0 )

Schnittpunkt mit der y-Achse : x = 0
f ( 0 ) = ( 0 - t ) * e^0
f ( 0 ) = -t * 1 = - t
( 0 | - t )

f ´( x ) = 1 * e^x + ( x - t ) * e^x
f ´( x ) = e^x * ( 1 + x - t )

Punkt mit waagerechter Tangente
e^x * ( 1 + x - t ) = 0
1 + x - t = 0
x = t - 1
f ( t - 1 ) = ( t - 1 - t ) * e^{t-1}
f ( t - 1 ) = - 1 * e^{t-1}

( t -1 | - e^{t-1} )

Monotonie > 0
e^x * ( 1 + x - t ) > 0
e^x ist immer > 0
1 + x - t > 0
x > t -1
Der Punkt ( t -1 | - e^{t-1} ) ist ein Extrempunkt und Tiefpunkt
E ( t -1 | - e^{t-1} )  ( Tiefpunkt )

f ´( x ) = e^x * ( 1 + x - t )
f ´´( x ) = e^x * ( 1 + x - t ) + e^x * 1
f ´´( x ) = e^x * ( 2 + x - t )

Wendepunkt
e^x * ( 2 + x - t ) = 0
2 + x - t = 0
x = t - 2
W ( t -2 | f ( t - 2 ) )

Für t = 1

~plot~ ( x - 1 ) * e^x ~plot~

Answer 2

Der Unterschied zur "normalen" KD besteht darin, dass die Ergebnisse in Abhängigkeit von t angegeben werden.

Beispiel: Nullstellen (Satz vom Nullprodukt anwenden)

f_t(x) =0

(x-t)*e^x = 0

Da e^x nicht NULL werden kann, gilt:

x-t = 0
x= t --> f_t(t) = e^t ---> Nullstelle N(t/e^t)

usw.

Comments

Fehlerhinweis
x= t --> f_t(t) = e^t ---> Nullstelle N ( t / e^t )
Bei Nullstellen ist y = 0
x= t --> f_t(t) = e^t ---> Nullstelle N ( t / 0 )