Eine Funktion mit bestimmten Eigenschaften

Question

Zu finden ist eine differenzierbare Funktion f: (0;1) aus R.

Die Eigenschaften sind: für jedes x Element aus (0;1) ist f(x) genau die hälfte der Länge des Graphen von f im Intervall (0;x)

Aufgabenstellung:

1) Formel angeben, also f(x)=...

2)Zeigen Sie:  Wenn f existiert, dann f(0)=0

3) Gleichung für f´(x) bestimmen in dem man f(x) ableitet. Ist die Funktion streng monoton steigend?

Für 1) dachte ich, dass man über die Länge des Graphen geht die ja im Integral von 0 bis x (Wurzel aus 1+f´(x)^2 dt ) x 1/2

Liege ich da komplett falsch?

setz man dann nämlich für die obere Grenze x=0 ein, dann ergibt sich f(0)=0

Comments

Wie ist das mit der Funktion 

f(x) = 1/√3·x

Ist der Graph nicht immer doppelt so lang wie der x-Wert angibt? Habe ich das so richtig verstanden?

Skizze

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für jedes x zwischen 0 und 1 ist f(x) ist genau die hälfte der länge des graphen im intervall von 0 bis x

die funktion müsste doch mit f(x)= 1/2 x... beginnen oder?

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Ich habe oben mal eine Skizze angefügt. 

f(1) = 1/√3 ≈ 0.5774

Und wie lang ist der Graph im Intervall von 0 bis 1 ? Ist der Doppelt so lang ?

s = √(1^2 + (1/√3)^2) = 2/√3

Das ist doch jetzt genau 2 mal der Funktionswert.

Answer 1

Wenn man eine lineare Funktion ausprobiert kann man den
Pythagoras anwenden.

c^2 = x^2 + [ f ( x )] ^2
und
c = f ( x ) * 2

Durch Einsetzen und Umformungen erhält man

1) Formel angeben, also f(x)=...
f ( x ) = ( 1 / √ 3 ) * x

2)Zeigen Sie:  Wenn f existiert, dann f(0)=0
f ( 0 ) = ( 1 / √ 3 ) * 0 = 0

3) Gleichung für f´(x) bestimmen in dem man f(x) ableitet.
Ist die Funktion streng monoton steigend?
f `( x ) = 1 / √ 3 => stets positiv also streng monton steigend.

Comments

2)Zeigen Sie:  Wenn f existiert, dann f(0)=0 

Da hast du es dir glaube ich zu einfach gemacht. Wenn f(x) genau die angenommene lineare Funktion ist, dann ist f(0) = 0. Es sollte aber denke ich etwas allgemeiner für jede mögliche Funktion f(x) gelten.

Ich würde ja sogar vermuten es muss sich im Intervall von 0 bis 1 um genau diese lineare Funktion handeln muss. Gezeigt habe ich das aber nicht warum es nur diese Funktion gibt die möglich ist. Das sollte eventuell auch noch gemacht werden.

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Aufgabenstellung
Zu finden ist eine differenzierbare Funktion f: (0;1) aus R.

Eine Funktion wurde gefunden.
So verstehe ich die Aufgabenstellung.

mfg Georg

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Richtig. Eine wurde gefunden. Die Frage ist ja gibt es noch andere. Ok. es gibt keine andere. Aber solange wir das nicht bewiesen haben könnte es ja andere geben.

2)Zeigen Sie:  Wenn f existiert, dann f(0)=0

Also bei unserem f ist es erfüllt aber ist bei eventuell anderen möglichen das auch erfüllt? Hier dürfen wir eventuell eben nicht unsere gefundenen Lösung benutzen.