Extremalproblem mit Halbzylinder (Autobahnstrecke wird von einem Fahrradtunnel unterquert)

Question

Aufgabe:

Eine Autobahnstrecke wird von einem Fahrradtunnel unterquert, der das Profil eines Halbzylinders (r=5m) hat.

Um den Reinigungsprozess zu vereinfachen, werden vertikale und horizontale Wände eingezogen. Welche Maße müssen diese erhalten, wenn das Luftvolumen des Tunnels zwecks optimaler Belüftung möglichst groß sein soll? Sind diese Maße praktikabel?

Answer 1

f(x) = √(r^2 - x^2)

A = 2·x·√(r^2 - x^2)

A' =2·(r^2 - 2·x^2)/√(r^2 - x^2)

Maximum A' = 0

r^2 - 2·x^2 = 0

x = √2/2·r = √2/2·5 = 3.53 m

f(√2/2·r) = √(r^2 - (√2/2·r)^2) = √2/2·r = √2/2·5 = 3.53 m

Der Tunnel wird also etwa 7 m breit und 3,5 m hoch werden.

Comments

Nur aus Interesse. Wie bist du auf die Funktionsgleichung gekommen?

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Die Kreisgleichung um den Ursprung lautet

x^2 + y^2 = r^2

Du solltest hier den Pythagoras erkennen.

Aufgelöst nach y ergibt sich

y = √(r^2 - x^2)

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Bei deiner Rechnung hätte ich sowohl x als auch y als r angesehen.

Ist das falsch?

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Hier eine Skizze