Polynominterpolation nach Lagrange

Question

Ich soll eine Polynominterpolation durchführen.
Hier einmal die Vorgaben:
$$Tabelle:\quad 1.\quad Glied\quad =\quad ti,\quad 2.Glied\quad =\quad Pi\\ ti\quad |\quad Pi\\ \begin{matrix} 0 & \left( 0,0 \right)  \\ 1 & \left( \sqrt { 2 } ,0 \right)  \\ 2 & \left( \sqrt { 2 } ,\sqrt { 2 }  \right)  \end{matrix}\\ Somit:\\ t0\quad =\quad 0\\ t1\quad =\quad 1\\ t2\quad =\quad 2$$

So hier ist einmal meine Rechnung:
$${ W }_{ 0 }(t)\quad =\quad \frac { t-t1 }{ t0-t1 } *\frac { t-t2 }{ t0-t2 } =\frac { t-1 }{ -1 } *\frac { t-2 }{ -2 } =t*t\quad =\quad { t }^{ 2 }\\ { W }_{ 1 }(t)\quad =\quad \frac { t-t0 }{ t1-t0 } *\frac { t-t2 }{ t1-t2 } =\frac { t }{ 1 } *\frac { t-2 }{ 1-2 } =t*t\quad =\quad { t }^{ 2 }\\ { W }_{ 2 }(t)\quad =\quad \frac { t-t0 }{ t2-t0 } *\frac { t-t1 }{ t2-t1 } =\frac { t }{ 2 } *\frac { t-1 }{ 1 } =\frac { t }{ 2 } *(t-1)\quad =\quad -\frac { t }{ 2 } $$

So, laut dem Internet sollte am Ende also herauskommen:
W₀(t)*P0 + W₁(t)*P1 + W₂(t)*P2


Das wäre dann in meinem Beispiel:
t2*<0,0> + t^2*<√2,0> - t/2*<√2,√2>

Aber ich bin mir nicht sicher ob das so korrekt ist..

Comments

Eine Korrektur:

Das wäre dann in meinem Beispiel: 
t²*<0,0> + t²*<√2,0> - t/2*<√2,√2> 

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Ich habe ein wenig anders gerecnet und schließlich auf folgendes gekommen:
W₀(t) = t² -2t -t

W₁(t) = -(t² -2t)

W₂(t) = 0

Doch ich glaube, das dies auch nicht stimmt, denn es sollte ja baryzentrisch sein, das heißt W₀(t) + W₁(t) + W₂(t) = 1. In diesem Fall trifft das nicht zu

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Probier mal das gegebene Beispiel auf Wikipedia Nachzurechnen

https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation#Lagrangesche_Interpolationsformel

Bitte wirklich nachrechnen und nicht nur ansehen. Das sollte für das Verständnis helfen.

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Ist es weiterhin Richtig das t1 und t2 bei dir die gleiche x-Koordinate haben ?

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Also das ist von meinem Aufgabenblatt abgeschrieben,
dort ist die Tabelle genau so wie oben.

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Hmm ich habe mal diese Beispielaufgabe gelöst:
http://www.numerik.mathematik.uni-mainz.de/didaktikseminar/Gruppe2b/Beispiel_von_Lagrange.htm
Jedoch siehst do hier ganz gut wo mein problem ist.

Hier gibt es nur eine Liste 
Xi, Yi

Doch in meinem Beispiel ist es eine R2 Liste:
Xi, (x,y)i

und ich weiss einfach nicht wie sich da die Regeln unterscheiden..

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Ok. Ich glaube ich weiß

Du erwartest ja nachher etwas wie

f(t) = [x(t), y(t)]

wobei x(t) und y(t) deine beiden Näherungspolynome sind.

D.h. ich denke du musst das ganze nur für x und y getrennt machen.

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Ok danke ich werds jetzt mal testen :)

Answer 1

Sehr unübliche Angabe der Stützstellen!

Interpretation 1:

x[i]:0,1,2,3

y[i]:0,1.4142135623730950488,1.4142135623730950488

ergibt http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html

y(x)=x*3/sqrt(2)-x²/sqrt(2)

Interpretation 2:

x[i]:0,1,2,3

y[i]:0,0,1.4142135623730950488

y(x)=x²/sqrt(2)-x/sqrt(2)

Natürlich kann man 1) & 2) miteinander verbinden...

Iterpretation 3:

i ; x[i] ; y[i]

Wie  Der_Mathecoach schon richtig sagte: 2mal selbe x-Koordinate = unlogisch

Interpretation 4:

x ; y ; z=f(x,y)

Ergibt Flächenfunktion (schließe ich erst ,mal aus)

Comments

Ich vermute mal das Interpretationen 1 und 2 stimmen. Leider bin ich nicht mehr zuhause, sonst würde ich dir Aufgaben direkt rechnen.

Aber ich melde mich, sobald ich die Antwort weiß. Nach meinen Vorlesungsfolien, müssen im Endergebnis t und P getauscht werden.

Am Ende kommt dann sowas wie
(...) t^2 + (...) t + P0 raus.

Ich werd mich da nachher nochmal dran setzen

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Wenn Du unbedingt die unübliche  t + Klammer-Schreibweise haben möchtest:

(-1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) )*t² + (3/sqrt(2) ,-1/sqrt(2) )*t + (0,0)

mit sqrt(x)=√x